0 100 0 0 4 －2 0 1 0 0 －8/3 －10/3 －2/3 0 故最优解为x1?100/3,x2?200/3,x3?0，又由于x1,x2,x3取整数，故四舍五入可得最优解为x1?33,x2?67,x3?0,Zmax?732．
（2）产品丙的利润c3变化的单纯形法迭代表如下：
10 6 0 0 0 b 200/3 0 6 10 100/3 1 5/6 5/3 －1/6 0 1 0 1/6 －2/3 1/6 0 0 100 0 0 4 －2 0 1 0 0 c3－20/3 －10/3 －2/3 0 要使原最优计划保持不变，只要?3?c3?的利润增加到大于时，才值得安排生产。
202?0，即c3?6?6.67．故当产品丙每件33如产品丙每件的利润增加到6时，此时6<，故原最优计划不变。
（3）由最末单纯形表计算出
162316?3??1?c1?0,?4??10?c1?0,?5?1?c1?0，
解得6?c1?15，即当产品甲的利润c1在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。
（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为B?1?5/3?1/60??????2/31/60?，新的最优解为 ??201???解得?4?q?5，故要保持原最优基不变的q的变化范围为[?4,5]．
（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成
?x1?x2?x3?100?10x?4x?5x?600123??. ?2x1?2x2?6x3?300 ?x3?10???x1,x2,x3?0通过LINGO软件计算得到：x1?32,x2?58,x3?10,Z?708．
第2章 对偶规划（复习思考题）
1．对偶问题和对偶向量（即影子价值）的经济意义是什么
答：原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2．什么是资源的影子价格它与相应的市场价格有什么区别
答：若以产值为目标，则yi是增加单位资源i对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，
而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。
3．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系
答：（1）最优性定理：设X,Y分别为原问题和对偶问题的可行解，且CX?bTY，则X,Y分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。
（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的松弛变量为XS和YS，它们的可行解X*,Y*为最优解的充分必要条件是Y*XS?0,YSX*?0．
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形表中，初始基变量的检验数的负值。若?YS对应于原问题决策变量x的检验数，则?Y对应于原问题松弛变量xS的检验数。
4．已知线性规划问题
?8x1?3x2?x3?2（第一种资源）?. ?6x1?x2?x3?8（第二种资源） ?x,x,x?0?123（1）求出该问题产值最大的最优解和最优值。
（2）求出该问题的对偶问题的最优解和最优值。
（3）给出两种资源的影子价格，并说明其经济含义；第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变
（4）代加工产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，应该如何定价
解：（1）标准化，并列出初始单纯形表
0 4 1 2 0 0 b 2 [8] 3 1 1 0 2/8 0 8 6 1 1 0 1 8/6 4 4 1 2 0 0 2 1/4 1 3/8 [1/8] 1/8 0 0 13/2 6 －5/4 1/4 －3/4 1 26 2 0 －1/2 3/2 -1/2 0 2 8 3 1 1 0 0 6 －2 －2 0 －1 1 －12 －5 0 －2 0 由最末单纯性表可知，该问题的最优解为：X*?(0,0,2,0,6)T，即x1?0,x2?0,x3?2，
最优值为Z?4．
（2）由原问题的最末单纯形表可知，对偶问题的最优解和最优值为：
y1?2,y2?0,w?4．
（3）两种资源的影子价格分别为2、0，表示对产值贡献的大小；第一种资源限量由2变为4，最优解不会改变。
（4）代加工产品丁的价格不低于2?2?0?3?4．
5．某厂生产A，B，C，D4种产品，有关资料如表2—6所示。
表2—6
资源消耗 产品 资源供应量 原料成本 （元/公斤） 资源 A B C D （公斤） 甲 2 3 1 2 800 乙 5 4 3 4 1200 丙 3 4 5 3 1000 单位产品售价（元） 21 （1）请构造使该厂获利润最大的线性规划模型，并用单纯形法求解该问题（不计加工成本）。
（2）该厂若出租资源给另一个工厂，构成原问题的对偶问题，列出对偶问题的数学模
管理运筹学第二版课后习题参考答案
