二次函数的零点： 二次函数 y?ax2?bx?c(a?0)． １）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等 环节 教学内容设置 实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数f(x)?x2?2x?3的图组 织 探 究 象： 1 在区间[?2,1]上有零点______； ○222师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况． 师生双边互动 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考． 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系． 生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用． f(?2)?_______，f(1)?_______, f(?2)·f(1)_____0（＜或＞）． 2 在区间[2,4]上有零点______； ○f(2)·f(4)____0（＜或＞）． （Ⅱ）观察下面函数y?f(x)的图象 1 在区间[a,b]上______(有/无)零点； ○f(a)·f(b)_____0（＜或＞）． 2 在区间[b,c]上______(有/无)零点； ○第 41 页 共 54 页
f(b)·f(c)_____0（＜或＞）． 3 在区间[c,d]上______(有/无)零点； ○f(c)·f(d)_____0（＜或＞）． 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 环节 教学内容设置 师生互动设计 例 题 研 究 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计例1．求函数f(x)?lnx?2x?6的零点个数． 算器来画函数的图象，问题： 结合图象对函数有一1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 个零点形成直观的认2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数识． 的单调性具有什么特性？ 生：借助计算机或计算 器画出函数的图象，结32例2．求函数y?x?2x?x?2，并画出它合图象确定零点所在的大致图象． 的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数． 第 42 页 共 54 页
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）?x?3x?5?0； （2）2x(x?2)??3； （3）x?4x?4； 尝 试 练 习 （4）5x?2x?3x?5． 2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）f(x)??x3?3x?5； （2）f(x)?2xln(x?2)?3； （3）f(x)?ex?1?4x?4； （4）f(x)?3(x?2)(x?3)(x?4)?x． 2222 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用． 1．已知f(x)?2x4?7x3?17x2?58x?24， 请探究方程f(x)?0的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）． 探 究 与 发 现 2．设函数f(x)?2?ax?1． （1）利用计算机探求a?2和a?3时函数xf(x)的零点个数； （2）当a?R时，函数f(x)的零点是怎样分布的？ 环节 教学内容设置 师生互动设计 第 43 页 共 54 页
1． 教材P108习题3．1（A组）第1、2题； 2． 求下列函数的零点： （1）y?x2?5x?4； （2）y??x2?x?20； （3）y?(x?1)(x2?3x?1)； （4）f(x)?(x2?2)(x2?3x?2)． 3． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零： 作 业 回 馈 （1）y?12x?2x?1； 3 （2）y??2x2?4x?1． 4． 已知f(x)?2(m?1)x2?4mx?2m?1： （1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点； （2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值． 5． 求下列函数的定义域： （1）y?（2）y?（3）y?x2?9； x2?3x?4； ?x2?4x?12 2课 外 活 动 2研究y?ax?bx?c，ax?bx?c?0， ax2?bx?c?0，ax2?bx?c?0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达． 考虑列表，建议画出图象帮助分析． 收 获 与 体 会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
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课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标： 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
创设情境 由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
组织探究 二分法的意义、算法思想及方法步骤．
探索发现 体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
尝试练习 二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解
决简单问题．
二分法应用于实际．
1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析； 2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
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人教版高中数学必修一教案1
