(3)已知级数??
(??1)
n?1
aa?
n?1
n?2,?n2n?1?5,则级数?ann等于?1
?1
(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(?1,1)和(?1,?1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则??(xy?cosxsiny)dxdy等于D
(A)2??cosxsinydxdy
D1(B)2??xydxdy
D1
(C)4
??(xy?cosxsiny)dxdy
(D)0D1
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACB?E
(B)CBABAC??E(C)E
(D)BCA?E
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)?(1)求2xlim?0
?
(cosx).(2)设n?
是曲面2x2
?3y2
?z2
?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u?6x2?8y2?
z在点P处沿方向n的方向导数.(3)???(x2
2
z)dv,其中?是由曲线y2?y??2z
?
x?0绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4所围城的立体.四、(本题满分6分)过点O(0,0)和A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分?
3L(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.五、(本题满分8分)将函数f(x)?2?x(?1?x?1)展开成以2为周期的傅里叶级?
数,并由此求级数?1
n?1
n2的和.梦想不会辜负每一个努力的人
16六、（本题满分7分）设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3
?12
f(x)dx?f(0),
3证明在(0,1)内存在一点c,使f?(c)?0.
七、（本题满分8分）已知α1?(1,0,2,3),α2?(1,1,3,5),α3?(1,?1,a?2,1),α4?(1,2,4,a?8)
及β?(1,1,b?3,5).
(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2
的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________.(2)随机地向半圆0?y?
2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于?4的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)?
2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
求随机变量Z?X?2Y的分布函数.梦想不会辜负每一个努力的人
17年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
梦想不会辜负每一个努力的人
199218一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数y?y(x)由方程e
x?y
?cos(xy)?0确定,则dy
dx=_____________.(2)函数u?ln(x2
?y2
?z2
)在点M(1,2,?2)处的梯度graduM=_____________.(3)设f(x)?
?1???x?01?x
2
0?x??,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收敛于_____________.(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.?a1b1a1b2?a1bn?(5)设A???a2b1
a2b
1
?a2bn???
??????
,其中?anb1anb2?a?
nbn?
ai?0,bi?0,(i?1,2,?,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)当x?1时,函数x2?1x?1e1
(1)x?1的极限(A)等于2(B)等于0(C)为?
(D)不存在但不为?
(2)级数??
(?1)n
(1?cosa)(常数a?0)n?1
n(A)发散(B)条件收敛a(C)绝对收敛(D)收敛性与有关(3)在曲线x?t,y??t2
,z?t3
的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)
(0)存在的最高阶数n为(A)0(B)1(C)2(D)3梦想不会辜负每一个努力的人
19?(5)要使ξ1??1???0???,ξ2??0??1?
都是线性方程组AX?0的解,只要?2??????1??
系数矩阵A为(A)??212?(B)?
?20?1?
?011?
?
(C)???102??01?1???0(D)?1?1??4?2?2????011??
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)x(1)求lime?sinx?1x?0
1?1?x2.(2)设z?f(ex
siny,x2
?y2
),其中f具有二阶连续偏导数,求?2z
?x?y.(3)设f(x)?
1?x2x?0
3e
?xx?0,求?1f(x?2)dx.
四、(本题满分6分)求微分方程y???2y??3y?e?3x
的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分??
(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2
)dxdy,其中?为上半?
球面z?a2?x2?y2的上侧.六、（本题满分7分）设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）在变力F??yzi??zxj?
?xyk?的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2
a2?b2?c2?1上第一卦限的点M(?,?,?),问当?、?、?20梦想不会辜负每一个努力的人
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