的方程.六、(本题满分7分)论证:当x?0时,(x2
?1)lnx?(x?1)2
.
七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S为椭球面x22?y2
2?z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求??z
S
?(x,y,z)dS.九、(本题满分7分)?设an??
40
tannxdx:
(1)求??
1
n(a
?an1
n
n?2)的值.?(2)试证:对任意的常数??0,级数??
an收敛.n?1
n?十、(本题满分8分)?设矩阵A??a
?1c??5b3?,其行列式|A|??1,又A的伴随矩??
?1?c0?a??
阵A*
有一个特征值?0,属于?0的一个特征向量为α?(?1,?1,1)T
,求a,b,c和?0的值.46梦想不会辜负每一个努力的人
设十一、(本题满分6分)X
的概率密度为?6x
?3(??x) 0< x??,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单f(x)???设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT
为B的转置矩阵,试证BT
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.
十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.XYy1y2y3P(X?xi)?pi?
x118x2
18P(Y?yi)?p?j
161十三、(本题满分6分)??0 其它
随机样本(1)求?的矩估计量??.(2)求??的方差D(??).47梦想不会辜负每一个努力的人
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)?
102x?x2dx=_____________.(2)曲面x2
?2y2
?3z2
?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________.(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.?12
1??x1??1?(4)已知方程组??23a?2??x2???3?无解?1a?2??????,则a=????x3????0??
_____________.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1
B9,A发生不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的有48(A)f(x)g(b)?f(b)g(x)(B)f(x)g(a)?f(a)g(x)(C)f(x)g(x)?f(b)g(b)(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则(A)??xdS?4S
??xdS
S1
(B)??ydS?4??xdS
S
S1
(C)??zdS?4??xdS
S
S1
(D)??xyzdS?4??xyzdS
S
S1
梦想不会辜负每一个努力的人
(3)设级数??
un收敛,则必收敛的级数为n?1(A)??
(?
?1)n
u
(B)u
n?1
nn?nn
2
?1
(C)??
(u
?un2n?1
2n)
?1(D)??(u
nn
?un?1)
?1
(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为(A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示(B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价(D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为(A)E(X)?E(Y)
(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2
)?E(Y2
)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]
2
三、(本题满分6分)求lim(
21?exx??
14?
sinx
?e
xx).四、(本题满分5分)设z?f(xy,x)?g(xyy),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求?2z
?x?y
.
49梦想不会辜负每一个努力的人
五、(本题满分6分)计算曲线积分I?
??xdy?ydxL4x2?y2,其中L是以点(1,0)为中心,R
为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2x
zdxdy?0,其中函数f(x)在S
(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim0
?f(x)?1,求f(x).?七、(本题满分6分)?
求幂级数?1xn
的收敛区间n?1
3n?(?2)nn,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数f(x)
在[0,?]
上连续,且?
??0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分)??10
00?设矩阵A的伴随矩阵A*
??
0100??10??
,且?
10?0?308??
ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将1
6熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2
5成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量50梦想不会辜负每一个努力的人
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