1990年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)x??t?2
(1)过点M(1,2?1)且与直线y?3t?4垂直的平面方程是_____________.z?t?1
(2)设a为非零常数,则lim(
x?ax
x??
x?a
)=_____________.(3)设函数f(x)?1
x?1
0x?1
,则f[f(x)]=_____________.(4)积分?22y20dx?
xe
?dy的值等于_____________.(5)已知向量组α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)是连续函数,且F(x)??
e?x
x
f(t)dt,则F?(x)等于(A)?e?x
f(e?x)?f(x)(B)?e?x
f(e?x)?f(x)
(C)e
?xf(e?x)?f(x)(D)e
?x
f(e?x)?f(x)
(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2
,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f
(n)
(x)是(A)n![f(x)]n?1
(B)n[f(x)]
n?1
(C)[f(x)]
2n
(D)n![f(x)]
2n
(3)设a为常数,则级数??
[
sin(na)n?1
n2?1n]梦想不会辜负每一个努力的人
11(A)绝对收敛(B)条件收敛a(C)发散(D)收敛性与的取值有关(4)已知f(x)在x?0的某个邻域内连续,且f(0)?0,limf(x)
x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x)
(A)不可导(B)可导,且f?(0)?0
(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是(A)k1α1?k2(α1?α2)?
β1?β2(B)k1α1?k2(α1?α2)?β21?β2(C)k1α1?k2(β1?β2)?β21?β2(D)k1?k2(β1?β2)?β21?1αβ22三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求?1
ln(1?x)0(2?x)2dx.
(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,?2求z?x?y
.(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x
的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数??
(2n?1)x
n
的收敛域,并求其和函数.n?0
五、(本题满分8分)求曲面积分I???yzdzdx?2dxdy
S
其中S是球面x2
?y2
?z2
?4外侧在z?0的部分.六、（本题满分7分）梦想不会辜负每一个努力的人
12设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一点?,使得f?(?)?0.
七、（本题满分6分）设四阶矩阵?134?
B?1?100??2??
01?10?213???,?0
?001?1?C???0021??
?0001????0
002?
?
且矩阵A满足关系式A(E?C?1B)?C??E
其中E为四阶单位矩阵,C?1
表示C的逆矩阵,C?表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型f?x12?4x22?4x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.九、（本题满分8分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F?作用(见图).F?
的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于?2.求变力F?对质点P所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)?
12e?x
,???x???则X的概率分布函数F(x)=____________.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.梦想不会辜负每一个努力的人
13(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,{Xk}?2ke?2
即P?k!,k?0,1,2,?,则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).
梦想不会辜负每一个努力的人
141991年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设x?1?t2
y?cost
,则d2ydx2=_____________.(2)由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz=_____________.(3)已知两条直线的方程是lx?1?y?1:
120?z?3?1;lx?2:22?y?11?z
1.则过l1且平行于l2的平面方程是_____________.(4)已知当x?0时,(1?ax2)13?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=_____________.?20
0?
A?5(5)设4阶方阵??
2
100???001?2??
,则A的逆阵?0011?
?
A?1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)2(1)曲线y?x?
1?e1?e?x
2(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)?
?
2?0
f(t
2)dt?ln2,则f(x)等于(A)exln2(B)e2xln2(C)ex?ln2
(D)e2x?ln2
梦想不会辜负每一个努力的人
15
考研数一历年真题可直接打印
