2.1 正则化数学思想见解
正则化在线性代数理论中，不适定问题通常是由一组线性代数方程定义的，而且这组方程组通常来源于有着很大的条件数的不适定反问题。反问题有两种形式。最普遍的形式是已知系统和输出求输入，另一种系统未知的情况通常也被视为反问题。许多反问题很难被解决，但是其他反问题却很容易得到答案。显然，易于解决的问题不会比很难解决的问题更能引起人们的兴趣，我们直接解决它们就可以了。那些很难被解决的问题则被称为不适定的。
一个不适定问题通常是病态的，并且不论是简单地还是复杂地改变问题本身的形式都不会显著地改善病态问题。另一方面，病态问题不一定是不适定的，因为通过改变问题的形式往往可以改善病态问题。在严格的数学意义上，我们通常不可能对不适定问题进行求解并得到准确解答。
其基本理论为：
只考虑一帧图像得：
y?Hx?n (1)
上式就是病态方程, 即方程的解不能同时满足以下三个条件：解的存在；解的唯一性；解连续依赖于观测数据。正则化方法的基本思想是利用关于解的先验知识，构造附加约束以确保问题解的存在、唯一和连续，从而把不适定问题转化为适定问题。采用正则化方法来确定问题的近似解。通常需要求解如下表达形式的目标泛函的极小值：
J?x，???y?Hx??p?x? (2)
d(x)=y?Hx表示数据拟合项，衡量数据拟合程度。
p?x?为正则项，衡量信号的某种奇异性。正则项函数p?x?对未知图像X造成了一个约束，使其得到一个稳定解，它的系数表示约束的强度。通常P(x)=Rx ，R是约束算子，它根据图像的先验信息对解进行约束,通常是基于一阶微分或二阶微分的高通滤波器算子。
?为正则化变量或动态正则化参数，起平衡正则项和数据项的作用，当它变大时，重建解趋于光滑，反之则数据拟合误差变小。超分辨率重建问题的本质就是在充分拟合观测数据的前提下，使某种奇异性度量最小，从而寻找理想的解X。
正则项和正则化参数的确定直接影响到复原图像的效果，这也是研究正则化方法的第一步。在正则化方法的实现过程中还会遇到离散算子，迭代算法等问题。为了更好的在去除噪声的同时保留图像边缘以及纹理细节信息，还要结合其他方法对标准正则化方法进行改进。这些内容都将在研究过程中深入讨论。 正则化算法主要涉及到以下几个要点： ·正则化参数
正则化参数α用来调整正则项和数据项的平衡，它的取值将直接影响到复原图像的效果。如果α取值偏小，不能有效地消除高频噪声，会引入寄生波纹和假象；如果α取值偏大，图像会因为丢失很多边缘信息而仍然模糊。
通常情况下，在已知噪声的方差的情况下，参数计算过程如下所示： 约束最小二乘法
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222??arg?y?Hx?a?2?n2?MN?2? (3)
其中M、N为图像尺寸，?为噪声方差。
预测均方误差法
2??????apmse?argmin?E?Hx?Hx?a????argminaa????????·迭代算法
??I?HR(a)?g2?2?2?tr?HR(a)??MN?
?(4)
对于SAR图像超分辨率重建的问题，常常涉及到大规模的方程组求解，且方程
的维数往往很大。所以正则化方法的求解算法中常用到迭代算法。迭代算法的优点为： >可以避免对算子求逆；
>关于解的一些先验知识可以合并到迭代过程中； >在求解的过程中可以对解进行监控； 这里我们采用的迭代过程如下所示：
xk+1=xk+H'y-?H'H+??xk?R'R?xk (5)
?(xk)=15y-Hxk2/y2 (6)
22其中，xk表示第k次迭代的结果，迭代运算的初始值取为x0=H'y，迭代终止准则：
xk-xk-1xk2222?? (7)
满足收敛条件之前要进行反复的迭代。
2.2 基于正则化思想的SAR图像分辨率提高算法的研究
这里将这种数学思想引入提高SAR图像分辨率的算法中，其主要流程如下所示：
SAR幅度图像的噪声为乘性噪声，为了方便讨论，通常对SAR幅度图像取对数变换，将乘性噪声变为加性噪声，再进一步对对数变换后的图像作线性变换，将图像各点像素值变为正值。所以，这里我们考虑通过变换后的SAR实图像的观测模型为：
g?f?w （8）式中f、g、w分别代表真实SAR实图像、获取的图像、噪声按列拉成的列向量。 正则化方法实现SAR图像超分辨的问题就是对如下的式进行求最优解，从而实现对原始图像的最佳估计。
f?argmin||g?f||22??||f||kk （9）
f这里再假设SAR图像中的高分辨率（HR）图像和低分辨率（LR）帧之间的正向
模型可以表示为：
yk?DkBkMkX?nk?HkX?nk ， 1?k?p （10） 联立p个方程得：
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y?Hx?n （11）
式（4）为病态方程,常用正则化来稳定求解。采用正则化方法来确定问题的近似解。通常需要求解如下表达形式的目标泛函的极小值：
J?x，???y?Hx??p?x? （12）函数p(x)对未知图像X造成了一个约束，使其得到一个稳定解，它的系数表示约束的强度。通常p(x)=||Rx||2 ，R是约束算子，它根据图像的先验信息对解进行约束，通常是基于一阶微分或二阶微分的高通滤波器算子。
2p(x)的一个常用形式为Tikhonov正则化：p(X)?||TX||，其中矩阵T是由期望
2图像的能量，光滑度等特征来决定的。
令T=1（单位矩阵），即得到唯一稳定解的最小能量正则化。
J(X)?||Y?HX||2??||X||2 （13）
这个式子就是前面式9所讨论的式子。通过求解该式的唯一稳定解获得最小能量正则化，从而实现SAR图像超分辨率算法。 2.3 超分辨率算法的质量评价
为了比较算法的性能，论文将通过计算原始图像与提高分辨率后的图像的峰值信噪比来评价算法的效果。
峰值信噪比PSNR，是一种评价图像的客观标准。它具有局限性，PSNR是一般是用于最大值信号和背景噪音之间的一个工程项目。通常在经过影像压缩之后，输出的影像通常都会有某种程度与原始影像不一样。为了衡量经过处理后的影像品质，我们通常会参考PSNR值来认定某个处理程序够不够令人满意。它是原图像与处理图像之间均方误差相对于(2^n-1)^2的对数值(信号最大值的平方，n是每个采样值的比特数)，它的单位是dB，其表达式为：
??2??255PSNR?10log? ? （14）1?2?||X?X||??N??为重建图像。 其中N为像素总数，X为原始图像，X
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2.4 系统仿真分析
本课题将在MATLAB2009b环境下进行仿真，对于基于正则化SAR图像的超分辨率算法，最为重要的就是参数?的确定。 ·SAR图像生成
点目标回波的冲激响应在距离、方位向的二维耦合，成像区域内各点的回波轨迹在二维时域是相互交错的，因此时域的二维相关处理只能逐点进行，运算量大而且效率低。各种算法对耦合的逼近程度以及由此产生的计算量、存储量要求都不相同，主要有两类，一类是一维频域处理，即将回波信号转换到距离-多普勒域处理，如R-D算法，子孔径算法等；另一类为二维频域处理，即将信号转换到距离、方位向的二维频域进行处理，如波数域算法 、CS算法等。这里通过CS算法产生SAR图像。
图1 多个目标的SAR图像
·固定参数的正则化的SAR图像超分辨率的算法仿真
正则化参数是一个比较重要的参数，下面首先对固定正则参数进行仿真。
图2
??0.1的仿真效果
在??0.1的时候，仿真结果可知其PSNR=91.6149db。
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图3
??0.4的仿真效果
在??0.4的时候，仿真结果可知其PSNR= 89.9743db。
图4
??0.9的仿真效果
在??0.9的时候，仿真结果可知其PSNR= 89.6375db。
从上面的仿真可以看到，在使用固定正则化参数的时候，无法确定最有解，则在一些环境较恶劣的情况，使算法失去实际工作的意义，因此需要通过一个迭代过程找到最优的参数解。
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SAR图像超分辨技术
