六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k
r2(k?0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线y?
2x?x2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）?已知AP?BP,其中B??100??000??,P??100?
2?10?,求??????00?1???211??A,A5.
八、（本题满分8分）?200??已知矩阵A???001?与B??200?0y0?相似.?01x???00?1???????
(1)求x与y.
(2)求一个满足P?1
AP?B的可逆阵P.九、（本题满分9分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f?(x)?0,证明:在(a,b)内存在唯一的?,使曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?a所围平面图形面积S1是曲线y?f(x)与两直线y?f(?),x?b所围平面图形面积S2的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19
27,则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于6
5”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知?(x)??
x
12
2?e?u2??du,?(2.5)?0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.6梦想不会辜负每一个努力的人
7梦想不会辜负每一个努力的人
十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)?
1
,求随机变量2?(1?x)Y?1?3X的概率密度函数fY(y).
1989年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知f?(3)?2,则lim
f(3?h)?f(3)
h?0
2h
=_____________.(2)设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2
?
10f(t)dt,则f(x)=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分?2L(x
?y2)ds=_____________.(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.?(5)设矩阵A??300??140??100???,I???010?,则矩阵?003???1??00??(A?2I)?1=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当x?0时,曲线y?xsin
1x(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面z?4?x2
?y2
上点P处的切平面平行于平面2x?2y?z?1?0,则点的坐标是(A)(1,?1,2)(B)(?1,1,2)
(C)(1,1,2)(D)(?1,?1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)c1y1?c2y2?y3
(B)c1y1?c2y2?(c1?c2)y3(C)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3
8梦想不会辜负每一个努力的人
(D)c1y1?c2y2?(1?c1?c2)y3(4)设函数f(x)?x2,0?x?1,
而S(x)?
??bnsinn?x,???x???,其中n?1
b1n?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,3,?,则S(?1
)等于(A)?122(B)?
14(C)114(D)2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A?0,则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设z?f(2x?y)?g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)
,求?2具有连续二阶偏导数z
?x?y.
(2)设曲线积分?cxy2dx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,计算?
(1,1)
(0,0)
xy2dx?y?(x)dy的值.(3)计算三重积分???(x?z)dv,其中?是由曲面z?x2?y2与?
z?1?x2?y2所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数f(x)?arctan
1?x
1?x
展为x的幂级数.五、(本题满分7分)设f(x)?sinx?
?
x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
六、（本题满分7分）证明方程lnx?xe???0
1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）9梦想不会辜负每一个努力的人
问?为何值时,线性方程组x1?x3??4x1?x2?2x3???26x1?x2?4x3?2??3
有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设?为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1
?为A?1
的特征值.(2)A
?为A的伴随矩阵A*
的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面?的球心在定球面x2
?y2
?z2
?a2
(a?0)上,问当R为何值时,球面?在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量?在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2
??x?1?0
有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.梦想不会辜负每一个努力的人
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