1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数y?x?2x
取得极小值.(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.x?1
(3)与两直线y??1?t及x?11?y?2z?1
1?
1都平行且过原点的平面方程为_____________.z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x2
?y2
?9,则曲线积分??
L(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy=_____________.(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与b,使等式lim
1
xt2x?0bx?sinx?0
a?t2dt?1成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?v?x,?x.(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中?301?
A???110?,求矩阵B.?014?
???
四、(本题满分8分)求微分方程y????6y???(9?a2
)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设lim
f(x)?f(a)
x?a
(x?a)2??1,则在x?a处1梦想不会辜负每一个努力的人
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0(B)f(x)取得极大值(C)f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在(2)设f(x)为已知连续函数,I?t
s?
t0
f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值(A)依赖于s和t
(B)依赖于s、t和x
(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t
(3)设常数k?0,则级数??
(?1)n
k?nn?1
n2(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*
是A的伴随矩阵，则|A*
|等于(A)a
(B)1
a(C)an?1
(D)an
六、（本题满分10分）求幂级数??
1xn?1
n?1n?2n的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
?
其中?是由曲线f(x)????
z?y?1 1?y?3?绕y轴旋转一周而?
x?0成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?2.
八、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
2梦想不会辜负每一个努力的人
九、（本题满分8分）问a,b为何值时,现线性方程组十一、（本题满分6分）设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?110?x?1e?yy?0
fX(x)?,fY(y)?,y0?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1
有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?
1?x
2
?2x?1
?e,则X的数学期望为____________,X的方差为____________.0其它求Z?2X?Y的概率密度函数.30
?梦想不会辜负每一个努力的人
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)?
(x?3)n
(1)求幂级数?的收敛域.n?1
n3n(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域.(3)设?为曲面x2
?y2
?z2
?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3
dxdy.?
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若f(t)?limt(1?1x??
x)2tx,则f?(t)=_____________.(2)设f(x)连续且?
x3?1
0
f(t)dt?x,则f(7)=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)?2?1?x?0x
2
0?x?1
,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A?4,B?1,则行列式A?B=_____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设f(x)可导且f?(x0)?1
2,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是(A)与?x等价的无穷小(B)与?x同阶的无穷小(C)比?x低阶的无穷小(D)比?x高阶的无穷小(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处4梦想不会辜负每一个努力的人
(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域?1:x2?y2?z2?R2,z?0,?2:x2?y2?z2?R2,x?0,y?0,z?0,
则(A)???xdv?4???dv
?1
?2
(B)???ydv?4???ydv
?1
?2
(C)???zdv?4????zdv
1
?2
(D)???xyzdv?4???xyzdv
?1
?2
(4)设幂级数??
a(x?1)n
在x??1处收敛,则此级数在x?2处nn?1(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0
(B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设u?yf(x
)?xg(yyx),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?2u?2u?x2?y?x?y
.五、(本题满分8分)设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex
,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的切线重合,求函数y?y(x).
5梦想不会辜负每一个努力的人
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