二阶系统的动态特性，可以用?和?n这两个参量的形式加以描述 二阶系统的特征方程： S2?2??nS??n?0 （3-19）
2S1,2????n??n?2?1 （3-20）
3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比?是实际阻尼系数F与临界阻尼系数FC的比值
12TmK12JKF12JK1F2F2JK1F FC??????FC－临界阻尼系数，??1时，阻尼系数
??0 两个正实部的特征根 发散
0???1 ，闭环极点为共扼复根，位于右半S平面，这时的系统叫做欠阻尼系统
??1 ，为两个相等的根 ??1 ，两个不相等的根
??0 ，虚轴上，瞬态响应变为等幅振荡
左半平面ξ>0ξ=0 jωjωn右半平面ξ<00<ξ<1ξ=1两个相等根ωd=ωnβ0σξ=0ξ>1jωn两个不等根图3-9二阶系统极点分布
(1)欠阻尼(0???1)二阶系统的单位阶跃响应
S1,2????n?j?n1??2 令????n－衰减系数 ????j?d ?d??n1??2－阻尼振荡频率
R(s)?1，由式（3-18）得 S?n21 C(s)??(s)R(s)?2?2S?2??nS??nS???n??nS???n??n?1 ???????ddd22?dS(S???n)2??d2(S???n)2??d2?n1??1??11??2?对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为
?
h(t)?1?e???nt[cos?dt??1??2sin?dt]
?1?11??2e???ntsin(?dt??)t?0 （3-21）
稳态分量 瞬态分量
??arctg1??2??arccos?
稳态分量为1，表明图3-8系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差，瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为?d－阻尼振荡频率
包络线1?e???nt1??2决定收敛速度
t?0 （3-23）
??0时，h(t)?1?sin?nt这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为?n－故称为无阻尼振荡频率。?n由系统本身的结构参数K和Tm，或K1和J确定，?n常称自然频率。
·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得?n，而只能测得?d，且?d??n，??1,?d不复存在，系统的响应不再出现振荡。
(2)临界阻尼(??1)
r(t)?u(t),R(s)?1 S?n2?n111C(s)?????(S??n)2SS(S??n)2S??n
临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应
h(t)?1?e??nt?nt?e??nt?1?e??nt(1??nt)t?0 （3-24）
当??1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程，
dh(t)??2n?e??ntdt (3)过阻尼(??1)
S1,2????n??n?2?1
?22C(s)?n1?n(S?SS?S??1)(2)S[S??n(???2?1)][S??n(???2?1)]S
?A1A2A3S?S??2?n(????1)???n(???2?1)
A1?1
A?12?S??n(???2?1)
A13?2?2?1(???2?1)
h(t)?1?11)?nt2?2?1(???2?1)e?(???2??1??2?1)?nt2?2?1(???2?1)e?(?（3-25）
衰减快慢jωS2S0σ1ξ基本上由S1决定图3-10二阶系统的实极点
t?0
21.81.61.41.210.80.60.40.200200400600800100012001400 图3-11表示了二阶系统在不同?值瞬态响应曲线（书上图3-10 P87） 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 ·欠阻尼情况
图3-12 为系统欠阻尼时的单位阶跃响应曲线。下列所述的性能指标，将定量地描述系统瞬态响应的性能。
在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。
二阶系统一般取??0.4~0.8,0.7 。其它的动态性能指标，有的可用?和?n精确表示，如tr,tp,Mp,有的很难用?和?n准确表示，如td,ts,可采用近似算法。 ⑴ ?td延时时间
在式（3-21）中，即h(t)?1?11??1??22e???ntsin(?dt??),t?0
令h(td)?0.5,可得
??arctg??arccos?
?ntd?1?ln2sin(1??2?ntd?arccos?)1??2
参见书P88，在较大的?值范围内，近似有
td?1?0.6??0.2?2?n （3-26） 书（3-19）式
线性系统的时域分析法(第七讲)
