同，即 C(s)?1 TS?1这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为g(t)?L?1[G(s)],其表达式为
1?c(t)?eTTtt?0 （3-5）
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
Unit-ramp Response of first-order Systems 当R(s)?1 2S111TT2C(s)??(s)R(s)?????
TS?1S2S2S1?TS对上式求拉氏反变换，得：
c(t)?t?T(1?e1?tT)?t?T?Te1?tT （3-6）
因为e(t)?r(t)?c(t)?T(1?e1?tT) （3-7）
r(t)c(t))t(rc(t)0t图3-5 一阶系统的斜坡响应
t??所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为ess?lime(t)?T
上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 r(t)?1,c(t)?1
t???? ②由于系统存在惯性，c(t)从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应
121t R(s)?3 2S?r(t)?1T1S?T
11ABCC(s)??(s)R(s)?()3?3?2??TS?1SSSS1TT2T2????1S3S21SS?S?TTD?t1c(t)?t2?Tt?T2(1?eT)21?tT1(t?0)??????????????????????????(3?8)
e(t)?r(t)?c(t)?Tt?T(1?e2)??????????????????????????(3?8)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式
微 分 ? 输入信号 输出响应 1?TeT1?e?tT传递函数 微 分 ?(t) t1 1 S1 S2(t?0) 1(t) t?0 ?tT? t t?T?Tet?0 1 TS?112t 21 3St ?122Tt?Tt?T(1?e)t?0 2等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常
数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统
和非线性系统。因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析
二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型
随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
i输入电位计输出电位计+发送θrθcR2反馈信号θcRaiaLaSM输入装置R1KAeR1e1误差测量装置KAθ负载放大器 电动机齿轮传动图3-6 随动系统原理图
⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。使其与参考位置相协调。
⑵工作原理：用一对电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号，转换为与位置成正比的电信号。
输入电位计电刷臂的角位置?r，由控制输入信号确定，角位置?r就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比，输出电位计电刷臂的角位置?c，由输出轴的位置确定。
电位差e?Ks(er?ec)就是误差信号。 Ks:桥式电位器的传递函数
该信号被增益常数为KA的放大器放大，（KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗） 放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。 电动机激磁绕组上加有固定电压。
如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。 (3)当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：
M?Cmia M(s)?CmIa(s) （3-10） Cm:电动机的转矩系数
ia:为电枢电流
对于电枢电路
Ladiad??Raia?Kb?KAKse （3-11） dtdt(LaS?Ra)Ia(s)?KAKSE(s)?KbS?(s) La:Ra:电动机电枢绕组的电感和电阻。
Kb:电动机的反电势常数，?:电动机的轴的角位移。
电动机的力矩平衡方程为：
d2?d?J2?f?M?Cmia （3-12）
dtdt(JS2?fS)?(s)?M(s)
J:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量。 f:为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
?c?? ?c(s)??(s) （3-13）
3-11θr(s)E(s)E1(s)Ia(s)1i1i3-10M(s)3-12θ(s)1θc(s)KsKAKbSθ(s)CmiKbS图3-7 随动系统方块图
根据图3-7，可以求出系统的开环传递函数（即前向通路传递函数）因为反馈回路传递函数为1
G(s)??c(s)H(s)E(s)
11Cm2LS?RaKSKACmiJS?fS1 （3-14） ?KSKAa??2Cm?KbSi(LaS?Ra)(JS?fS)?CmKbS1?(LaS?Ra)(JS2?fS)如果略去电枢电感La
令KSKACmiRa???K1K1K1FK?G(s)???（3-15）
CmKb令JS(TmS?1)S(JS?F)S(S?1)S(JS?f????F)FRaK1?KSKACmiRa 增益
F?f?CmKb 阻尼系数，由于(Kb)电动机反电势的存在，增大了系统的粘性摩擦。 RaK?K1F 开环增益 Tm?JF 机电时间常数
那么，不考虑负载力矩的情况下，随动系统的开环传递函数可以简化为：
G(s)?K （3-16）
S(TmS?1)相应的闭环传递函数 ?(s)??c(s)G(s)K?? （3-17） 2?r(s)1?G(s)TmS?S?KKTm?n2 ??1KKS2?S?S2?2??n?TmTmTm为了使研究的结果具有普遍意义，可将式（3-17）表示为如下标准形式
?nC(s)?(s)??2 （3-18）
R(s)S?2??n??n2?n2?KK ?n? TmTm11 ? ?? Tm2TmK22??n??n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
?－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示
R(s)_ωn2S(S+2ξωn)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图
线性系统的时域分析法(第七讲)
