0???1时，亦可用td?1?0.7??n （3-27） （书3-20）
⑵?tr（上升时间）
h(tr)?1 ，求得
11??2e???ntsin(?dtr??)?0
?dtr????
tr???? （3-28） （3-31书） ?d? 一定，即?一定，??n??tr? ,响应速度越快 ⑶?tp(峰值时间)
对式（3-21）（书3-14）求导，并令其为零，求得
??ne???tsin(?dt??)??de??tcos(?dt??)?0
nntg(?dt??)?1??2? ?tg??1??2?
??dtp?0,?,2?,??????,根据峰值时间定义，应取
?dtp??
tp??12?1??Td?d2?d2??????(3?29) (书3-22)
?一定时，?n?（闭环极点离负实轴的距离越远）?tp?
⑷ ??%orMp的计算，超调量
超调量在峰值时间发生，故h(tp)即为最大输出
h(tp)?1?11?????2e???ntpsin(?dtp??)
h(tp)?1?e1??2 ?sin(???)??sin???1??2
??%?h(tp)?h(?)h(?)??1??2?100%?e?100% (3-30) (书3-23)
3-14?
C(s)?2nR(s)?S2?2??2 nS??n??0 时，?%?100%
??0.4时，?%?25.4% ??1.0时，?%?0
当??0.4~0.8时 ?%?1.5%~25.4% ⑸?调节时间tS的计算
典型二阶系统欠阻尼条件下的单位阶跃响应
h(t)?1?e???ntsin(?dt??)t?0
??arctg1??2??arccos? 书式(3-14)
令?表示实际响应于稳态输出之间的误差，则有
t1S???(ln1n??ln11??2)
图
??11??2e???ntsin(?dt??)?e???nt1??2
??0.8时，并在上述不等式右端分母中代入??0.8， 选取误差带
??0.05tS?tS?3.5??n4.5tS?tS?3.5??n4.5
??0.02??ntS?3??n (3-31) 书(3-24)
当?较小 ??0.4
tS???n4(??0.05)
(??0.02)??n⑹稳态误差eSS
定义：当t??时，系统的参考输入和输出之间的误差就是系统的稳态误差，用eSS表示。 对图3-8的标准二阶系统有
G(s)?R(s)S(S?2??n)C(s)1?G(s)R(s)1 E(s)????2?2G(s)G(s)1?G(s)S?2??n??nS利用拉氏变换的终值定理
eSS?limSE(s)?0，故二阶系统在(单位)阶跃信号作用下的稳态误差恒为零。
S??如果在斜坡信号r(r)?t作用下，eSS?limSE(s)?limS?0S(S?2??n)S2?2??n??n2S?0?12? ?2?nS(3-32)
例3-1 考虑图3-8所示系统，已知??0.6,?n?5rad/s,求tr,tp和(Mp)?%,tS,设系统在单位阶跃信号作用下。 解：
?d??n1??2?51?0.62?4
????n?0.6?5?3
tr:tp:tr?tp??????arccos???0.927???0.55s ?d44????0.785s ?d4????%:tS:?%?e1??2100%?etS????0.61??2100%?0.095?100%?9.5%
tS对?＝2%对?＝5%4.5?1.5s?3
3.53.5tS???1.17s?3?4.5·过阻尼 ??1
① 延迟时间td同欠阻尼情况(仍然近似成立)td?② 上升时间tr 0.9的定义 tr?1?0.6??0.2?2?n
1?1.5???2?n2③ 调节时间tS 可用查图法 S2?2??n??n?(S?11)(S?) T1T2??1??1当T1?4T2tS?4.75T1tS?3T1
④ 无超调
有二阶系统的单位斜坡响应可自己看，书(3-29)可以对(3-14)进行积分求得
c(t)??h(?)d? 利用线性系统的性质，系统对输入积分的响应等于系统响
0t应的积分。
3.3.4二阶系统的动态校正
对于特定的系统，3.3.1节中介绍的位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
?(s)?K? 2TmS?S?K?n???KTm112TmK
调整时间tS，当?一定时与?n有关，?n大，tS小
Mp仅与?有关，?大超调小
控制系统设计的目的是稳、准、快。但各项指标之间是矛盾的。
????大，因为Tm一定(对特定的系统) 如果要求系统反应快，显然要求?%小?要求?要求???K小
???K大 同样如果要求系统反应快， ?n就要大?要求??? K大 如果要求稳态误差小，?希望必须采取合理折中方案，如果采取方案，仍不能使系统满足要求，就必须研究其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。 如二阶系统在斜坡信号作用下，有稳态误差
ess?2??ness要小?要求????小
在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分控制和测速反馈控制是两种常用方法。
3.3.4.1 比例－微分控制
Proportional-plus－derivative Control Of Second-order Systems 用分析法研究PD控制，对系统性能的影响，由图3-15，可得开环传递函数。 图3-15
?n(TdS?1)22?n(TdS?1)C(s)(TdS?1)?n2? (3-33) G(s)????SR(s)S(S?2??nS)S(S2??n?1)2??nS(?1)2??nK??n ，称为开环增益，与?n,?有关。 (3-34) 2?闭环传递函数为
?n(TdS?1)G(s) ?(s)??2?222221?G(s)S?2??nS?Td?nS??nS?(2??n?Td?n)S??nTd?n?2?'?n22Td?n(S?21)Td?;?Td?nT? ?d????'???dn (3-35) 22
线性系统的时域分析法(第七讲)
