令z?1 Td?n2(S?z) (3-36) ?22z(S?2??nS??n)结论：
① 比例－微分控制可以不该变自然频率?n，但可增大系统的阻尼比。 ② K??n,由3-35可知，可通过适当选择微分时间常数Td，改变?d阻尼的大小。 2?③ K??n，由于?与?n均与K有关，所以适当选择开环增益，以使系统在斜坡2?输入时的稳态误差减小，单位阶跃输入时有满意的动态性能(快速反应，小的超调)。－这种控制方法，工业上称为PD控制，由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，―z?二阶系统。
④ 适用范围 微分时对噪声有放大作用(高频噪声)。输入噪声放大时，不宜采用。 当输入为单位阶跃函数时
1―，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的TdC(s)??(s)R(s)?S?ZS?2??nS??n22??n21Z?S
2?n2S?n1 ???2222ZS(S?2??nS??n)S(S?2??nS??n)?n212???t?1?esin(?1??t??) nd222S(S?2??nS??n)1??ddn?n?n112??d?nt?2??esin?1??ndtZS?2?d?nS??n2Z1??2d?当?d?1时，得单位阶跃响应
22
h(t)?1?11??d2e??d?ntsin(?n1??dt??)??nz1??d2e??d?ntsin?n1??dt
2(3-37)
可以化简为书式(3-44)的简化形式，但式(3-45)式 (3-38)书(3-44) 好像有问题 r?Z2?2?dZ?n??n丢了一个Z (3-39)r
2h(t)?1?re??d?ntsin(?n1??dt??) (3-38) r?Z2?2?dZ?n??n (3-39)
22?????arctg[?n1??d2(Z??d?n)]?arctg(1??d2?d) (3-40) 3.3.4.1 测速反馈控制
输入量的导数同样可以用来改善系统的性能。 图3-16
通过将输出的速度信号反馈到系统输入端，并与误差信号比较，其效果与比例－微分控制相似，可以增大系统阻尼，改善系统的动态性能。实例：角度控制系统。
Kt:为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)
由图3-16，系统的开环传递函数
?n2S(S?2??nS)?n2G(s)??2 22?nS?(2??n??nKt)S1?KtSS(S?2??nS)?n2?? (3-41) 22S(S2??n??nKt?1)2??n??nKt1K??n22??Kt?n 开环作用 (3-42)
Kt会降低K，即测速反馈会降低系统的开环增益
相应的闭环传递函数，可用(3-41)式中的第一种表示方式
?nG(s)?(s)??21?G(s)S?(2??n?Kt?n2)S??n2令 2?t?n?2??n?Kt?n
22(3?43)
?t???Kt?n与PD控制相比 说明：
12(3?44)
①由(3-42)式知，测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳
态误差。 K??eSS?
②测速反馈不影响系统的自然频率 ?n不变 ③可增大系统的阻尼比 ?t???11Kt?n 与 ?d???Td?n (3-35) 形式相同 22④测速反馈不形成闭环零点，因此Kt?Td时，测速反馈与比例－微分控制对系统动态性能的改善程度是不相同的。
⑤设计时，?d在0.4~0.8之间，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。
例3-2 图3-17(a)所示的系统，具有图3-17(b)所示的响应，求K和T 解：①
?%?0.254?e?????tp?ln0.25421??2
?0.4
??(ln0.254)2?? ??d?n1??2?n??tp1??2?3.1431?0.42?1.14
KT
1S2?S?KTT闭环传递函数
C(s)K?2?R(s)TS?S?K?n2?KT1?2??nT
T?12??n2?1?1.092?0.4?1.14
K?T?n?1.09?1.142?1.42
例3-3 一控制系统如图3-18所示，其中输入r(t)?t，试证明当Kd?统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。 解：图3-18系统的闭环传递函数
2??n，在稳态时系
(1?KdS)?nC(s)?2 2R(s)S?2??nS??nR(s)?1 S22C(s)?(1?KdS)?n22S2?2??nS??n?1 S2E(s)?R(s)?C(s)(1?KdS)?n1?2?22 2SS(S?2??nS??n)?S2?2??nS?Kd?nSS2(S2?2??nS??n)222eSS?limSE(s)?limS?0S?2??n?Kd?nS?2??nS??n2?222S?0?2??n?Kd
由上式知，只要令Kd??n，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。
例3-4 设一随动系统如图3-19所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间tp?1S，求①求增益K和速度反馈系数?。
②根据所求的K和?值，计算该系统的上升时间tr,tS,td.
???1??2解： 由① ?＝e?0.2
1ln() ??2???(ln)? tp?1?0.456
2??1.5 ?d ?d???3.14rad/s ?d??n1??2 ?n?系统的闭环传递函数 ?(s)?C(s)KK?2?2 R(s)S?S?K?S?KS?(1?K?)S?K2?d1??2?3.141?0.4562?3.53rad/s
?K??n?3.532?12.46
2??n?1?K? ??2??n?12?0.456?3.53?1??0.178 K12.46② tr? tS????3.14?arccos?3.14?1.097???0.65S ?d3.143.143.5(3)?3.5?2.17S0.456?3.53(??0.05)
??n??n4.5(4 tS???n??n?n
?)?4.5?2.80S0.456?3.53(??0.02)
td?1?0.7?1?0.7?0.456?0.37S
?3.53
线性系统的时域分析法(第七讲)
