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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第16章 联立方程模型
16.1 复习笔记
解释变量另一种重要的内生性形式是联立性。当一个或多个解释变量与因变量联合被决定时，就出现了这个问题。估计联立方程模型的主要方法是工具变量法。
一、联立方程模型的性质
联立方程组中的每个方程都具有其他条件不变的因果性解释。因为只观察到均衡结果，所以在构造联立方程模型中的方程时，使用违反现存事实的逻辑。SEM的经典例子是某个商品或要素投入的供给和需求方程：
hi＝α1wi＋β1zi1＋ui1 hi＝α2wi＋β2zi2＋ui2 联立方程模型的重要特征：
首先，给定zi1、zi2、ui1和ui2，这两个方程就决定了hi和wi。hi和wi是这个SEM中的内生变量。zi1和zi2由于在模型外决定，是外生变量。
其次，从统计观点来看，关于zi1和zi2的关键假定是，它们都与ui1和ui2无关。由于这些误差出现在结构方程中，所以它们是结构误差的例子。
最后，SEM中的每个方程自身都应该有一个行为上的其他条件不变解释。
二、OLS中的联立性偏误
在一个简单模型中，与因变量同时决定的解释变量一般都与误差项相关，这就导致OLS中存在偏误和不一致性。
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www.100xuexi.com 1．约简型方程
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 考虑两个方程的结构模型： y1＝α1y2＋β1z1＋u1 y2＝α2y1＋β2z2＋u2
并专门估计第一个方程。变量z1和z2都是外生的，所以每个都与u1和u2无关。 如果将式y1＝α1y2＋β1z1＋u1的右边作为y1代入式y2＝α2y1＋β2z2＋u2中，得到 （1－α2α1）y2＝α2β1z1＋β2z2＋α2u1＋u2
为了解出y2，需对参数做一个假定：α2α1≠1。这个假定是否具有限制性则取决于应用。y2可写成
y2＝π21z1＋π22z2＋v2
其中，π21＝α2β1/（1－α2α1）、π22＝β2/（1－α2α1）和v2＝（α2u1＋u2）/（1－α2α1）。 用外生变量和误差项表示y2的方程（16.14）是y2的约简型方程。参数π21和π22被称为约简型参数；注意它们是结构方程中出现的结构型参数的非线性函数。
约简型误差v2是结构型误差u1和u2的线性函数。因为u1和u2都与z1和z2无关，所以v2也与z1和z2无关。因此，可用两阶段最小二乘估计所用的OLS一致地估计π21和π22。
2．联立性偏误及其方向
可以用约简型方程证明，除非在特殊的假定之下，否则对方程y1＝α1y2＋β1z1＋u1的OLS估计，将导致α1和β1的估计量有偏误和不一致。根据假定，z1和u1不相关，所以问题是y2和u1是否也不相关。y2和u1相关等价于v2和u1相关。α2≠0，v2和u1就一定相关。当α2＝0且u1和u2不相关时，y2和u1也不相关。当y2与u1因联立而相关时，OLS存在联立性偏误。
在一些简单的模型中，可以决定偏误的方向。
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www.100xuexi.com 和u1之间的协方差为
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 假设通过去掉z1而简化方程y1＝α1y2＋β1z1＋u1，并假定u1和u2不相关。于是，y2
Cov?y2,u1??Cov?v2,u1?2???α/1?ααEu???21?1??22???α/1?αασ??21?1?2
其中，σ1?Var?u1??0。
2因此，α1的OLS估计量中的渐近偏误（或不一致性）与α2/（1－α2α1）具有相同的符号。
三、结构方程的识别和估计 1．两方程联立模型中的识别
当用OLS估计一个模型时，关键的识别条件是每个解释变量都与误差项无关。这个重要的条件对SEM而言一般不再成立。但如果有一些工具变量，仍能识别（或一致地估计）一个SEM方程中的参数。
联立方程模型为： y1＝β10＋α1y2＋z1β1＋u1 y2＝β20＋α2y1＋z2β2＋u2
其中，y1和y2是内生变量，而u1和u2是误差项。第一个方程的截距是β10，而第二个方程的截距是β20。
变量z1表示出现在第一个方程中的k1个外生变量的集合：z1?z11,z12,L,z1k1??。
变量z2表示出现在第二个方程中的是k2个外生变量的集合：
z2?z21,z22,L,z2k2
??。在许多情况下，z和z存在重叠部分。
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 作为一个简略形式，用z1β1表示第一个方程中的所有外生变量分别乘以一个系数，z2β2
类似。z1和z2一般包含不同外生变量的事实意味着，对模型施加了排除性约束。换句话说，假定某些外生变量不会出现在第一个方程中，而另外一些则不会出现在第二个方程中。
2．识别一个结构方程的秩条件
识别（两方程）联立模型中第一个方程的充要条件是，第二个方程中至少包含第一个方程所排除的外生变量中的一个（具有非零系数）。这是识别方程y1＝β10＋α1y2＋z1β1＋u1的充分必要条件。
识别第一个方程的阶条件：这个方程至少要排除一个外生变量。一旦两个方程都设定之后，检查阶条件就很简单。
秩条件的要求：第二个方程中至少包含第一个方程排除的一个外生变量，并具有非零的总体系数。这就保证至少有一个外生变量被第一个方程略去，且确实出现在y2的约简型中，所以可以用这些变量作为y2的工具变量。
第二个方程的识别自然与第一个方程的识别相同。 3．使用2SLS进行估计
一旦决定了哪个方程被识别，就可以用两阶段最小二乘法去估计它。工具变量由其他方程中出现的外生变量构成。
四、多于两个方程的系统
联立方程模型也可以由两个以上的方程组成。研究这些模型的一般识别很困难，并要用到矩阵代数。一旦一个一般系统中的一个方程被证明是可识别的，那就可以用2SLS估计它。
1．三个或更多个方程构成的系统中的识别问题 省略掉截距项，将模型写成
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 y1＝α12y2＋α13y3＋β11z1＋u1 y2＝α21y1＋β21z1＋β22z2＋β23z3＋u2 y3＝α32y2＋β31z1＋β32z2＋β33z3＋β34z4＋u3
其中，yg表示内生变量，zj表示外生变量。α表示内生变量的参数，β表示外生变量的参数。第一个方程是过度识别方程，因为只需要（y2和y3）两个工具变量，但方程有三个可以利用（z2、z3和z4）；说明在这个方程中有一个过度识别约束。一般而言，过度识别约束个数等于系统中外生变量的总数减去这个方程中解释变量的总数。
第二个方程是一个恰好识别方程，而第三个方程是一个不能识别方程。 2．识别的阶条件
对任何SEM中的一个方程，如果它排除的外生变量数不少于其右端包含的内生变量数，那么它就满足识别的阶条件。
模型第二个方程排除了一个外生变量z4，而在其右端只有一个内生变量y1，所以也通过了阶条件。
阶条件只是识别的必要条件而非充分条件。为了得到充分条件，需要扩展两方程的系统中识别的秩条件。
估计无论一个SEM中有多少个方程，每个可识别方程都可以用2SLS估计。某特定方程的工具可由在这个系统中任何地方出现的外生变量组成。
结果证明，对于任何一个由两个或两个以上方程构成的系统，只要被正确设定并符合某些附加假定，系统估计方法一般都比用2SLS逐个地估计每一个方程更加有效。在SEM背景下，最常见的系统估计法是三阶段最小二乘法。
五、利用时间序列的联立方程模型
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伍德里奇《计量经济学导论》(第4版)笔记和课后习题详解-第16~19章【圣才出品】
