2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题（ 每小题10分，共80分）
1. 某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab与cd时，恰好都得到完全平
方数：2ab9?n2,2cd9?m2,(m?n,m,n?N)，则数组m?n,ab?cd? ．
??y2x2??1的顶点和焦点，则椭圆的方程2. 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线
916为： ．
3. 实数x,y满足2x2?3y2?6y，则x?y的最大值是 ．
4. 四面体ABCD中，CD?BC,AB?BC,CD?AC,AB?BC?1平面BCD与平面
ABC成450的二面角，则点B到平面ACD的距离为 ．
5. 从集合M??1,2,3,?,2009?中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则M中剩下
的元素个数为 ．
x?x3 6. 函数f(x)?的值域是 ．
(1?x2)2 7. cos?15?cos2?4?7??cos?cos? ． 151515 8. 九个连续正整数自小到大排成一个数列a1,a2,?,a9，若a1?a3?a5?a7?a9的值为一平方数，a2?a4?a6?a8的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ． 二、解答题（ 共70分）
9. （20分）给定Y轴上的一点A(0,a)（a?1），对于曲线y?12x?1上的动点2M(x,y)，试求A,M两点之间距离AM的最小值（用a表示）．
10. （25分）如图，AB、CD、EF是一个圆中三条互不相交的弦，以其中每两条
弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为M,N,P；证明：M,N,P三点共线．
AEDBFC11. （25分）n项正整数列x1,x2,?,xn的各项之和为2009，如果这n个数既可分
为和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n的最小值．
答案
1. (100,100) 提示： 注意到，对于整数k，若k2的末位数为9，则k的末位数必
252?2025为3或7，易知44?2000?2ab9，（4），55?30252?9cd2，因此
244?n?m?55，于是，若要m,n满足条件，只可能是，由于47?2209，n?47,m?53，
532?2809，所以ab?20,cd?80,n?47,m?53，m?n,ab?cd??100,100?．
??x2y2??1 提示：双曲线的两顶点为?0,?3?，两焦点为?0,?5?，故由条件，椭2.
1625圆的两焦点为?0,?3?，两顶点为?0,?5?，因此，c?3,a?5，b?a?c?16，则椭
222x2y2??1． 圆的方程为
1625 3. 1?122?6y，得10 提示：令x?y?t，则x?t?y，由2?t?y??3y225y2?2?2t?3?y?2t2?0，因y为实数，则判别式??4?2t?3??4?5?2t2?0，得
2?102?10． ?t?22 4.
3 提示：DC?AC?2，作DE?平面ABC，垂足为E，连CE,AE，由322DC?1，
0?三垂线逆定理，EC?BC，所以?DCE?45，故CE?DE11VABCD?DE?SABC?，又因ABCE为正方形，AE?1，则AD?2，因此正三角形
36ACD的面积为
1133，设B到平面ACD的距离为h，由h?SACD?，得h?
3623?2009??2009?3的倍数有?55. 1072．提示：集合M中，个，的倍数有?669?401????5??3?个，15的倍数有?个．
?2009??133个，则剩下的元素个数为2009??669?401?133??1072?15??11x1?x26. [?,] 提示：f(x)??，令x?tan?，则
441?x21?x211f?sin2??cos2??sin4?，
24由此，?11???f?，当x??tan,tan时两边分别取得等号． 448817. ?．提示：
2?7???2?4??原式??cos?cos?cos?cos??1515??1515?4?????2coscos?2coscos155155?2cos???
???4???cos?cos??5?1515? 5sinsin??4cos??2cos?6sin?10?51??． 10200?000000 （注：由sin72?2sin36cos36?4sin18cos18cos36，则sin18cos36?1，4即cos?5sin1?．） 104?8. 18000 提示：设这九数为 a?4,a?3,a?2,a?1,a,a?1,a?2,a?3,a?4，则有，
m2n2?，得 5a?m，4a?n，S?9a，则a?5423 4m?5n ①
2323令n?2n1,m?5m1，得100m1，所以 5m1，再取m1?2m2，n1?5n2， ?2n1?40n122化为 2m2，取m2?10,n2?2，可使左式成立，这时n?20,m?100，a?2000， ?52n223S?9a?18000．
9. 如图，易求得曲线上诸点的坐标为：
YE(?2,0),F(2,0),D(0,1)，当x2?2，即?2?x?2时，Ax2曲线方程为y?1? ……①；
2DEMFXox2?1 ……②，对于情形①，即?2?x?2时，而当x?2时，曲线方程为y?22显然当M位于顶点D处时，距离AM取得最小值a?1；
x2?1)，由于 对于情形②，即在x??2或x?2时，设点M(x,2x21AM?x?(?1?a)2?(x2?2a)2?2a?1，
2422因a?1，则2a?2，2a?比较AD与AM：令
2，于是，当x?2a时，AM取得最小值2a?1；再
f(a)?AD?AM?(a?1)2?(2a?1)?a(a?4)，
则当1?a?4时，f(a)?0，AD?AM，即最小值为AD?a?1；而当a?4时，
22f(a)?0，则最小值AM?2a?1．
10. 如图，设AB,CD,EF为三条不相交的弦，其中AC?BD?P，AF?BE?M，
CE?DF?N，又设BD?CE?H，点N,P,M截?BEH的
三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证
AEDHPBMEN???1 ①， PBMENHBMPHN用记号?表示三角形面积，则由
FCBM?BAFBA?BF?? ② ME?EAFEA?EFHP?HAC?HAC?EACCHEA?ECCH?EA?????? ③ PB?BAC?EAC?BACCEBA?BCBA?BC由此得
HPBMCH?BF??， PBMEBC?EF因此只要证，
EN?BFCH?1， ④
EF?BCNH注意
ENDN?， ?BFD??BCD，则 EFDC
2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案
