?2ππ?2152153－?＝d＝×sin?×＝5. 33332??ρ2－2ρcosθ－2＝0，??(2)由?πθ＝，?3? 得ρ2－ρ－2＝0. 设M.N两点对应的极径分别为ρ1.ρ2.则ρ1＋ρ2＝1.ρ1ρ2＝－2. 所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝?ρ1＋ρ2?2－4ρ1ρ2＝3. 1135所以△PMN的面积S△PMN＝|MN|×d＝×3×5＝. 2222．[20xx·广州综合测试二]在直角坐标系xOy中.倾斜角为α的直线l的参数方程为??x＝2＋tcosα，???y＝3＋tsinα (t为参数)．在以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于A.B两点.且|AB|＝42.求直线l的倾斜角． ??x＝2＋tcosα，解：(1)解法一：因为直线l的参数方程为???y＝3＋tsinα (tπ为参数).所以当α＝时.直线l的普通方程为x＝2. 2π当α≠时.直线l的普通方程为y－3＝tanα(x－2)． 2将ρ2＝x2＋y2.ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8. 得x2＋y2＝2x＋8. 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0. ??x＝2＋tcosα，解法二：直线l的参数方程为??y＝3＋tsinα? (t为参数). 6 / 11 ??xsinα＝2sinα＋tsinαcosα，则有??ycosα＝3cosα＋tsinαcosα，? 所以直线l的普通方程为 xsinα－ycosα－(2sinα－3cosα)＝0. 将ρ2＝x2＋y2.ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8. 得x2＋y2＝2x＋8. 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0. (2)解法一：曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0. 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理.得t2＋(23sinα＋2cosα)t－5＝0. 因为Δ＝(23sinα＋2cosα)2＋20>0.所以可设该方程的两个根分别为t1.t2. 则t1＋t2＝－(23sinα＋2cosα).t1t2＝－5. 所以|AB|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2 ＝[－?23sinα＋2cosα?]2＋20 ＝42. 整理得(3sinα＋cosα)2＝3. ?π?故2sin?α＋?＝±3. 6??因为0≤α<π.所以ππ7π≤α＋<. 666πππ2πππ所以α＋＝或α＋＝.解得α＝或α＝. 636362ππ所以直线l的倾斜角为或. 62解法二：由(1)得曲线C是以C(1,0)为圆心.3为半径的圆．直线l与圆C交于A.B两点.且|AB|＝42. 故圆心C(1,0)到直线l的距离 7 / 11 ?42??32－??2?2＝1. ??d＝π①当α＝时.直线l的普通方程为x＝2.符合题意． 2??π??π②当α∈?0，?∪?，π?时.直线l的普通方程为xtanα－y＋2??2??|tanα－0＋3－2tanα|3－2tanα＝0.所以d＝＝1. 1＋tan2απ整理得|3－tanα|＝1＋tan2α.解得α＝. 6ππ综上所述.直线l的倾斜角为或. 623．[20xx·太原一模]在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为??x＝tcosα，???y＝1＋tsinα， 以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ. (1)若曲线C1的参数方程中的参数是α.且C1与C2有且只有一个公共点.求C1的普通方程； (2)已知点A(0,1).若曲线C1的参数方程中的参数是t.0<α<π.且C1与11C2相交于P.Q两个不同的点.求＋的最大值． |AP||AQ|解：(1)∵ρ＝2cosθ.∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.??x＝tcosα，∵α是曲线C1：??y＝1＋tsinα? 的参数.∴曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2. ∵曲线C1与曲线C2有且只有一个公共点. ∴|t|＝2－1或|t|＝2＋1. 8 / 11 ∴曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝(2－1)2或x2＋(y－1)2＝(2＋1)2. ??x＝tcosα，(2)∵t是曲线C1：???y＝1＋tsinα 的参数. ∴曲线C1是过点A(0,1)的一条直线. ??x＝tcosα，设与点P.Q相对应的参数分别是t1.t2.将??y＝1＋tsinα? 代入(x－1)2＋y2＝1. 得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0. ??t1＋t2＝－2∴???t1·t2＝1，?π?2sin?α－?，4?? 1111∴＋＝＋＝|t＋t| |AP||AQ||t1||t2|12?π?＝22|sin?α－?≤22. 4??3π当α＝时.Δ＝4(sinα－cosα)2－4＝4>0. 411∴＋的最大值为22. |AP||AQ|4．[20xx·福建质??检]在直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为?4??y＝1＋5t23x＝1＋t，5 (t为参数).以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲?π?2线C的极坐标方程为ρ＝.点P的极坐标为?2，?. 4?1＋sin2θ?(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标； (2)设l与C交于A.B两点.线段AB的中点为M.求|PM|. 9 / 11 2解：(1)由ρ＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2.① 1＋sin2θ2将ρ2＝x2＋y2.y＝ρsinθ代入①并整理得. x2曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1. 2?π?设点P的直角坐标为(x.y).因为点P的极坐标为?2，?. 4??ππ所以x＝ρcosθ＝2cos＝1.y＝ρsinθ＝2sin＝1. 44所以点P的直角坐标为(1,1)． ??(2)解法一：将?4??y＝1＋5t＋110t＋25＝0. 3x＝1＋t，5 x22代入＋y＝1.并整理得41t22Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0. 故可设方程的两根为t1.t2. 110则t1.t2为A.B对应的参数.且t1＋t2＝－. 41t1＋t2依题意.点M对应的参数为. 2t1＋t255所以|PM|＝|＝. 241解法二：设A(x1.y1).B(x2.y2).M(x0.y0). x1＋x2y1＋y2则x0＝.y0＝. 22??由?4??y＝1＋5t3x＝1＋t，5 41消去t.得y＝x－. 33 10 / 11
2024版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案
