教学资料范本 2024版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案 编 辑：__________________ 时 间：__________________ 1 / 11 7讲 选修4－4 坐标系与参数方程 ■真题调研—————————————— 【例1】 [20xx·全国卷??Ⅰ]在直角坐标系xOy中.曲线C的参数方程为?4t??y＝1＋t2直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐标方程； (2)求C上的点到l距离的最小值． 1－t2x＝1＋t2， (t为参数)．以坐标原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.?y??1－t2?1－t24t222?2＋解：(1)因为－1＜≤1.且x＋??＝?22＝1.21＋t21＋t2?1＋t?????y2所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)． 4l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0. ??x＝cosα，(2)由(1)可设C的参数方程为??y＝2sinα? (α为参数.－π＜α＜π)． C上的点到l的距离为 |2cosα＋23sinα＋11|＝7?π?4cos?α－?＋113??7. ?π?2π当α＝－时.4cos?α－?＋11取得最小值7.故C上的点到l3?3?距离的最小值为7. 【例2】 [20xx·全国卷Ⅱ]在极坐标系中.O为极点.点M(ρ0.θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上.直线l过点A(4,0)且与OM垂直.垂足为P. 2 / 11 π(1)当θ0＝时.求ρ0及l的极坐标方程； 3(2)当M在C上运动且P在线段OM上时.求P点轨迹的极坐标方程． π解：(1)因为M(ρ0.θ0)在C上.当θ0＝时. 3πρ0＝4sin＝23. 3π由已知得|OP|＝|OA|cos＝2. 3设Q(ρ.θ)为l上除P的任意一点．连接OQ.在Rt△OPQ?π?中.ρcos?θ－?＝|OP|＝2. 3????π?π?经检验.点P?2，?在曲线ρcos?θ－?＝2上． 3?3????π?所以.l的极坐标方程为ρcos?θ－?＝2. 3??(2) 设P(ρ.θ).在Rt△OAP中. |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ.即ρ＝4cosθ. ?ππ?因为P在线段OM上.且AP⊥OM.故θ的取值范围是?，?. 2??4?ππ?所以.P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ.θ∈?，?. 2??4【例3】 [20xx·全国卷?π??3π?Ⅲ]如图.在极坐标系Ox中.A(2,0).B?2，?.C?2，?.D(2.π).弧4??4??..?π?所在圆的圆心分别是(1,0).?1，?.(1.π).曲线M1是弧2??.曲线M2是弧.曲线M3是弧. 3 / 11 (1)分别写出M1.M2.M3的极坐标方程； (2)曲线M由M1.M2.M3构成.若点P在M上.且|OP|＝3.求P的极坐标． 解：(1)由题设可得.弧..所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ.ρ＝2sinθ.ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝??ππ?3π?2cosθ?0≤θ≤?.M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ?≤θ≤?.M3的极4?4???4?3π?≤θ≤π?. 坐标方程为ρ＝－2cosθ?4??(2)设P(ρ.θ).由题设及(1)知. ππ若0≤θ≤.则2cosθ＝3.解得θ＝； 46π3ππ2π若≤θ≤.则2sinθ＝3.解得θ＝或θ＝； 44333π5π若≤θ≤π.则－2cosθ＝3.解得θ＝. 46?π??π??2π?综上.P的极坐标为?3，?或?3，?或?3，?或6??3??3???5π??3，?. 6??【例4】 [20xx·江苏?π??π?卷]在极坐标系中.已知两点A?3，?.B?2，?.直线l的方程为ρsin4??2???π??θ＋?＝3. 4??(1)求A.B两点间的距离； (2)求点B到直线l的距离． ?π??π?解：(1)设极点为O.在△OAB中.A?3，?.B?2，?.由余弦定4??2??理.得 AB＝?ππ?32＋?2?－2×3×2×cos?－?＝5. 4??22 4 / 11 ?π?(2)因为直线l的方程为ρsin?θ＋?＝3. 4???π?3π则直线l过点?32，?.倾斜角为. 2?4??π?又B?2，?.所以点B到直线l的距离为 2???3ππ?－?＝2. (32－2)×sin?42??■模拟演练—————————————— 1．[20xx·南昌二模]已知在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为???3??y＝2t1x＝t，2 2(t为参数).以坐标原点为极点.x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线?2152π??C的极坐标方程为ρ－2ρcosθ－2＝0.点P的极坐标是?，?3?. 3??(1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离； (2)若直线l与曲线C交于M.N两点.求△PMN的面积． ??解：(1)由?3??y＝2t，ρcosθ.所以θ＝π. 31x＝t，2 消去t.得y＝3x.则ρsinθ＝3π所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)． 3?2152π??点P?，?3?到直线l的距离为 3?? 5 / 11
2024版新高考复习理科数学教学案：坐标系与参数方程 含答案
