中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质
知识考点:
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。 精典例题:
一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD延长线于F.
求证:EF与⊙O相切.
例2 如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD. 求证:PA与⊙O相切.
例3 如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M 求证:DM与⊙O相切.
例4 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30,BD=OB,D在AB的延长线上. 求证:DC是⊙O的切线
例5 如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA=OD·OP. 求证:PC是⊙O的切线.
例6 如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F. 求证:CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了,简称:“作垂直;证半径”
例7 如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点. 求证:AC与⊙D相切.
例8 已知:如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且AC∥BD,若∠COD=90. 求证:CD是⊙O的切线. [习题练习]
例1如图,AB是⊙O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且OC=OD,求证:AC=BD. 例2已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点E,求证:△DEC为等腰三角形.
例3如图,AB是⊙O的直径,弦AC与AB成30°角,CD与⊙O切长线于D,求证:AC=CD.
例4如图20-12,BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,
于C,交AB?的延于点D,与AC?交
0
2
0
?AB??AF,BF和
AD交于E, 求证:AE=BE.
例5如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D,DE⊥OC,垂足为E.
(1)求证:AD=DC.(2)求证:DE是⊙O1的切线.
例6如图,已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度数.(2)在MN上是否存在一点D,使AB·CD=AC·BC,说明理由. 例7如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O的半径为3. (1)若圆心O与C重合时,⊙O与AB有怎样的位置关系? (2)若点O沿CA移动,当OC等于多少时,⊙O与AB相切?
19.如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结0G.(1)判断0G与CD的位置关系,写出你的结论并证明;(2)求证:AE=BF;(3)若OG?DE?3(2?2),求⊙O的面积。
?FCGED12、如图,割线ABC与⊙O相交于B、C两点,D为⊙O上一点,E为BCF,DE交AC于G,∠ADG=∠AGD。
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)如果AB=2,AD=4,EG=2,求⊙O的半径。
0
的中点,OE交BC于
AOB13、如图,在△ABC中,∠ABC=90,O是AB上一点,以O为圆心,交于点E,与AC切于点D,AD=2,AE=1,求S?BCD。
OB为半径的圆与AB
1如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足
为F,交CB的延长线于点E。
(1)求证:直线EF是⊙O的切线; (2)求CF:CE的值。
A F 2如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交ADD G 于点F.⑴求证:DE是⊙O的切线;⑵若
3如图,RtAC3AF的值。 ?,求
AB5DFE B O C
的中点,连接△ABC中,?ABC?90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边EBCC (第22题DE.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线; (2)连接OC交DE于点F,若OF (1) 求证:直线PB与⊙O相切;
D F ?CF,求tan?ACO的值. 4.如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
A C O B D F (2) PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长. 已知:如图,在Rt△ABC中,?C交于点D,E,且?CBD??A. (1)判断直线BD与e解:(1)
(2)
如图18,四边形ABCD内接于eE ?90o,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别
A O C D B O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AD:AO?8:5,BC?2,求BD的长.
O,BD是eO的直径,AE,平分. A ?CD,垂足为EEDAB ?BDEO (1)求证:AE是e(2)若?DBCO的切线;
A E
?30o,DE?1cm,求BD的长.
o如图所示,△ABC是直角三角形,?ABC?90,以AB为直径的e点,连结DE.
(1)求证:DE与eO相切; (2)若e24、
O交AC于点ED,点D是BC边的中
A O B E O C
图18 O的半径为3,DE?3,求AE.
D ACC如图,AB是⊙O的直径,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作ABB的垂线交于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E. (1)证明CF是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为1,且AC=CE,求MO的长.
【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。
(1)求证:BC是⊙O的切线; (2)EM=FM。 证明:
【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。
【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=r。
(1)求证:CD是⊙O的切线; (2)求AD?OC的值; (3)若AD+OC=探索与创新:
【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G,GA=8。
(1)求∠G的余弦值; (2)求AE的长。
【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=?(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。
(1)求∠POQ;
(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大小是否保持不变,并说明理由。
圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型
1、已知:如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的⊙O与AD,BD分别交于点E、点F,且∠ABE=∠DBC.
(1)判断直线BE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若sin?ABE?PCQBBCO?BA(第24题)
BE23FOMADD1ECO?9r,求CD的长。 2例1图 D12AGACC例2图 OF?3BD例3图 E问题一图 3,CD?2,求⊙O的半径. 3AEDADOONE2、已知:如图,⊙O的半径OC垂直弦AB于点H,连接BC,过点A作弦FCHOC AE∥BC,过点C作CD∥BA交EA延长线于点D,延长CO交AE于点BF. (1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若BC=5,AB=8,求OF的长.
问题二图 CBDAFF E3、如图,?ABC是等腰三角形,AB?直径的⊙O与BC交于点D,DEAC,以AC为
?AB,垂足为E,
ED的延长线与AC的延长线交于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BE?1,求cosA的值. 4、已知:如图,
AB是⊙O的直径,BC切eO于B,AC交⊙O于P,D为BC边的中点,连结DP.
(1) DP是⊙O的切线; (2) 若cosA?3, ⊙O的半径为5, 求DP的长. 5AP5、如图,在△ABC中,AB?AC,AE是角平分线,BM OC 平分?ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于 点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. (1)求证:AE与⊙O相切;
M BE G DCA
F B O BC?4,cosC?(2)当
13时,求⊙O的半径.
6、如图,AB是⊙O的直径,?BAC?30?,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点(1)证明CF是⊙O的切线
(2) 设⊙O的半径为1.且AC=CE,求MO的长.
7、如图,已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作 DEE,直线CF交EN于点F,且?ECF??E.
E⊥AB,垂足为E,DE交
FCAC于点F. 求证:△DFC是等腰三角形.
8、在Rt△AFD中,∠F=90°,点B、C分别在AD、FD上,以AB点C,联结AC,将△AFC 沿AC翻折得△AEC,且点E恰好落(1)判断:直线FC与半圆O的位置关系是证明你的结论.
(2)若OB=BD=2,求CE的长.
9、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别AC于点D、E, 联结EB交OD于点F. (1)求证:OD⊥BE;
(2)若DE=5,AB=5,求AE的长.
10、如图所示,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于
NAMOB为直径的半圆O 过在直径AB上. _______________;并
FC交BC、
AOEECDBD点E,若∠AEC=∠
ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
AFOB(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.
(9题图) 11、已知:AB是⊙O的弦,OD⊥AB于M交⊙O于点D,CB⊥AB交AD的延长线于C.
(1)求证:AD=DC;
(2)过D作⊙O的切线交BC于E,若DE=2,CE=1,
求⊙O的半径.
12、如图,AB为⊙O的直径,AD平分?BAC交⊙O于点
D,
DE?AC交AC的延长线于点E,BF?AB交AD的延长
线于点F,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE?3,⊙O的半径为5,求BF的长.
13、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足
为F,交CB的延长线于点E. (1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠E的值.
14、如图,AB为半圆O的直径,点C在半圆O的平行线交AC于点E,交过点A的直线于点
上,过点O作BCD,且
?D??BAC.
(1)求证:AD是半圆O的切线;
(2)若BC?2,CE?2,求AD的长.
15、已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中
交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点, 交BD于点G,交AB于点F. (1)求证:AC与⊙O相切; (2)当BD=2,sinC=
点,BE平分∠ABD
D⌒
16、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,M是 BC 的中点,OM交⊙O的 E切线BP于点P.
(1)判断直线PC和⊙O的位置关系,
并证明你的结论.
(2)若sin∠BAC=,⊙O的半径为2, 求线段PC的长.
17、如图,在⊙O中,AB是直径,AD是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°. (1)判断直线CD是否为⊙O的切线,并说明理由; (2)若CD = 33 ,求BC的长.
18、已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,
1时,求⊙O的半径. 2CGBAFOA O B E D C
AD平分?CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E. (1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE?6cm,AE?3cm,求⊙O的半径.
19、已知:如图,AB为⊙O的直径,弦AC//OD,BD切⊙O于B,联结CD.
(1)判断CD是否为⊙O的切线,若是请证明;若不是请说明理由. (2)若AC?2,OD?6,求⊙O的半径.
20、如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;