指数函数与对数函数的关系

指数函数与对数函数的关系

一、目标认知学习目标

理解反函数的概念、互为反函数的图象间的关系； 指数函数与对数函数互为反函数的关系.

重点

反函数的概念及互为反函数图象间的关系.

难点

反函数概念.

二、知识要点梳理

1.反函数概念：

知识点一、反函数的概念及互为反函数两函数间的关系

当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数. 函数的反函数通常用 要点诠释： (1)对于任意一个函数一一映射时，这个

函数才存在反函数；

(2)反函数也是函数，因为它符合函数的定义.

2.互为反函数的图象关系： 关于直线

3.互为反函数的定义域和值域关系：

对称；

，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是

表示.

反函数的定义域与值域是原函数的值域和定义域.

4.求反函数的方法步骤：

(1)由原函数y=f(x)求出它的值域； (2)由原函数y=f(x)反解出x=f(y)；

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(3)交换x, y改写成y=f(x)； (4)用f(x)的值域确定f(x)的定义域.

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知识点二、指数函数与对数函数的关系

指数函数 指数函数 x

互为反函数.

图象 性质 (1)图象过点(0，1) (2)a>1，当x>0，y>1； 当x=0，y=1； 当x<0时00，01。 (3)a>1，y=a为增函数； 0

定义域 值域 定义 y=a(a>0且a(-∞，+∞) (0，+∞) ≠1)叫指数函数 对数函数 y=logax(a>0(0，+∞) 且a≠1)叫对数函数 (-∞，+∞) (1)图象过点(1，0) (2)a>1时，当x>1，y>0； 当x=1，y=0； 当00； 当x=1，y=0； 当x>1，y<0. (3)a>1，y=logax为增函数； 0

x xxx

①y=a②y=b ③y=c ④y=d 则：0

xxxx

又即：x∈(0，+∞)时，b

xxxx

x∈(-∞，0)时，b>a>d>c

(2)

①y=logax ②y=logbx ③y=logcx ④y=logdx 则有：0

又即：x∈(1，+∞)时，logaxlogbx>0>logcx>logdx

与

的图象关于直线y=x对称.可知：

；

的图象上

A(m，n)关于直

三、规律方法指导

互为反函数 1．函数

的图象关于直线y=x对称

的反函数

2．点A(m，n)在函数线y=x的对称点

B(n，m)在

的图象上.

经典例题透析

类型一、求函数的反函数

1．已知f(x)= (0≤x≤4)， 求f(x)的反函数.

思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域).

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解：∵0≤x≤4，∴0≤x≤16， 9≤25-x≤25，∴ 3≤y≤5， ∵ y=≤5)

将x， y互换，∴ f(x)的反函数f(x)=

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， y=25-x，∴ x=25-y.∵ 0≤x≤4，∴x=

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(3≤y

(3≤x≤5).

2．已知f(x)=，求f(x).

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思路点拨：求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.

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解：当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞)，∴ f(x)=x-1 (x≥1)；