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?0????0?且f?0??1,f?1??0，
lim2x?64?6?
x?22x??2?n?4??2?n???21? 2?n5则limf?xsinx????1???( ) x???10?2?n n?12 答m?6,n?12
选做题
1?1?x求??xlim?x?0?e??1xA． -1 B．0 C．1 D． 不存在 解： 原式
1??sinf连续??1?x?f?limxsin??f?limx??1?x??x????x???? ???11??xx?e1?x??解：原式1?? lim?1?x?0??e?????f?1??0，选B
2． 要使f?x??ln?1?kx?在点x?0处连续，应给f?0?补充定义的数值是( )
mx?ex?0lim?1?x?x?ex?e1?e1x?x???1?x??lim?x?0e1?????
A． km B．
令y??1?x??e11ln?1?x?xk mkmy???1?x?1x1x?ln?1?x?1?x 2xx?1?x?2C． lnkm D． e
??1?x?xx??1?x?ln?1?x?x??1?x?ln?1?x?x2?1?x?m??解：?limf?x??ln?lim(1?kx)x?
x?0?x?0?limkx?mx
?lnex?00?ln?1?x?2x?3x2?lnekm?km
原式?ex?0lim?ex?0lim
?f?0??km 选A
3．若limf(x)?A，则下列正确的是
x?a?ex?02x?3x2lim?x?e
?12第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若f?x?为是连续函数，
11
（ ）
A． limf?x??A
x?aB． limx?af?x??A
C． limf?x???A
x?aD． limf(x)?A
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解：limx?af?x?u连续limf?x??x?aA A． a??2,b?2 B． a?0,b?2 C． a?2,b?0 D． a?1,b?1 解：（1）?f?x?在x?1连续，
2?limx?1??2,lim?ax?b??a?b ???x?1x?1选B
?f?x?,x?0?4．设F?x???x
?f?0?,x?0?且f?x?在x?0处可导，f??0??0,
故a?b?2??1?
f?0??0,则x?0是F?x?的 ( )
A． 可去间断点 B． 跳跃间断点 C． 无穷间断点 D． 连续点 解：?limF?x??limx?0x?0x2?1（2）f???1??lim?2,f???1? ?x?1x?1a?x?1?ax?b?2?1??limlim?a
x?1?x?1?x?1x?1f?x??f?0?x?0?f??0?,
f??0??f?0??F?0??f?0??limF?0?，
x?0?a?2，代入?1?得b?0，选C
二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设f(x)为连续奇函数，则f?0?=
解：（1）?f?x?为奇函数，?f??x???f?x?
故x?0是F?x?的第一类可去间断点。选A
1?xsin?5．f?x???x,x?0在x?0处 ( )
??0,x?0A． 极限不存在 B．极限存在但不连续
C ．连续但不可导 D．可导但不连续
?f?x??（2）?limf??x??lim?? x?0x?0?又?f?x?在x?0连续
1解：?limf?x??limx?sin?0，且f?0??0
x?0x?0x?f?x?在x?0连续，又?f??0?
?f?0???f?0? 故f?0??0
8．若f?x?为可导的偶函数，则f??0??
1xsin?0x?f?x?在x?0?lim?不存在，
x?0x?0不可导 选C
?f??x??f?x? ?f?x?为偶函数，解：（1）
(2)?f?x?可导，??f???x??f??x? 故
?x2?1,x?16．设f?x???在x?1可导，则
?ax?b,x?1?f??0??f??0? 2f??0??0 即f??0??0
12
a,b为 （ ）
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9．设y?6x?k是曲线y?3x?6x?13的 一条切线，则k?
解： （1）?y??6,y??6x?6,?6x?6?6,x?2 （2）6?2?k?3?4?6?2?13,?12?k?12?12?13,2三 、计算题（每小题8分，共64分）
?sin2x?e2ax?1,x?0?13． 已知f(x)?? x?a,x?0?在???,???上连续，求a的值 故k?1
10． 若y?f(x)满足：f(x)?f?0??x
???x?，且lim??x?x?0x?0
则f??0?= 解：f??0??limf?x??f?0?x?0x?0
?limx???x?x?0x?1?0?1
11． 设f(x)在x?2连续，且f(2)=4， 则lim?1x?f(x)??x?2?4?2x2?4???
解： 原式=f(2)limx?2?4x?2x2?4
?4lim11x?2x?2?4?4?1
12．f(x)?sinx??x?1?x5?x的间断点个数为
解： 令x5?x?0,x?x?1??x?1??x2?1??0
x?0,x??1,x?1为间断点，
故f?x?有三个间断点
解：?f?x?在x?0连续
limsin2x?e2ax??1x?0f?x??limx?0x?limsin2xe2ax?1x?0x?limx?0x?2?2a 且f?0??a,?2?2a?a 故a??2
?1?14． 讨论f(x)??ex,x?0?0,0?x?1在x?0,x?1??lnx?x?1,x?1连续性
1解：（1）在x?0处，?limx?0?ex?0,xlim?0?0?0且f?0??0
?f?x?在x?0处连续 （2）在x?1处，?limx?1?0?0, lnxx?1?tx?1?ln?1?t?xlim?1?xlim?0?t?1 ?f?x?在x?1不连续
15． 设f(x)有连续的导函数，且
13
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?f?x??asinx,x?0?f?0??0,f??0??b若F?x???x?A,x?0?在x?0连续，求常数A。 解：?limF?x??limx?0x?0?k?11，答k?,b?1 22f?x??f?0??asinxx?ln(1?ax),x?0?17．设f(x)??在x?0可x???1,x?0导，求a与f??0?
解：（1）?f?x?在x?0连续，
?limx?0f?x??f?0?x?0asinx?limx?0x?f??0??a
且F?0??A，?a?b?A 答A?a?b
?limf?x??limx?0x?0ln?1?ax?x?limax?a
x?0x且f?0???1，故有a??1 （2）?f?x?在x?0可导
?ex?1,x?0?16． 设f(x)??x在x?0可导，
?kx?b,x?0?求k,b的值。
ln(1?x)?1x f??0??limx?0x?0?1???1ln?1?x??x?0??limlimx?1 2x?0x?02xx?lim1?x?11??
x?02x?x?1?2ex?1?f?x?在x?0连续，解：（1）?lim??1
x?0xx?0?lim(kx?b)?b 故有b?1
（2）?f?x?在x?0可导
答：a??1,f??0???ex?1?1x f???0??lim?x?0x?0?0???ex?1?x?0?ex?11?limlim? x?0?x?02x2x21 218． 讨论f(x)?x?a??x?在x?a是否可导，其中??x?在x?a连续。 解：（1）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a
f???0??limx?0kx?1?1?k, x14
?lim?x?a??x?a???x?x?a
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??lim??x??x?a?连续???a?
?lime?x?11x?1?e???0,lime?x?11x?1??
（2）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a?lim??x??x?a?x?1是f?x?的第二类无穷间断点
（3）在x?0处：
1x?1?lim?x?a?x?a???x?x?a?连续?lime?x?0?e?1,limln?1?x??0 ?x?0??a??x?0是f?x?的第一类跳跃间断点
四、 综合题（每小题10分，共20分）
答： 当??a??0时，f?x?在x?a连续， 当??a??0时，f?x?在x?a不连续 19． 求f(x)?点类型
解：（1） 间断点：x?0,x??1,x?1 （2） 在x?0处：?lim1的间断点，并指出间断lnx11?21． 求f(x)?xx?1的间断点，并判别
11?x?1x间断点的类型。
解： （1）间断点：x?0，x??1,x?1 （2）在x?0处：
1?0
x?0lnxf?x??x?x?1?x?11??
x(x?1)1x?1x?0?x?0是f?x?的第一类间断点。
（3） 在x??1处：?lim?limf?x??limx?0x?1??1 x?1?x?0是f?x?的第一类可去间断点
（3）在x?1处：?limf?x??limx?1x?11??
x??1lnxx?1?0 x?1?x??1为f?x?的第二类无穷间断点。
?x1??120． 设f(x)??e,x?0指出
??ln?1?x?,?1?x?0f(x)的间断点，并判断间断点的类型。
解：（1）x?1为间断点，x?0可能是间断
点。
（2）在x?1处：
?x?1是f?x?的第一类可去间断点
（4）在x??1处：?limx?1??
x??1x?1?x??1是f?x?的第二类无穷间断点
?x2?x,x?0?3222．已知f(x)??ax?bx?cx?d,0?x?1，
?x2?x,x?1?在???,???可导，求a,b,c,d之值
15
函数与数列的极限的强化练习题答案
