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解：（1）?f?x?在x?0连续， ?xlim3?0??ax?bx2?cx?d??d
xlim?0??x2?x??0,f?0??0 故d?0??1?
（2）?f?x?在x?0可导
?limx2f?x???0?x?0?x?1,
fax3?bx2?cx???0??limx?0x?c
故有c?1??2?
（3）?f?x?在x?1连续，
?lim32x?1??ax?bx?x??f?1? 即a?b?1?f?1??0
?a?b?1?0??3?
（4）?f?x?在x?0可导：
?f?1??limx2?x??x?1?x?1?1
f??limax3?bx2?x???1x?1?x?1
??0??0??xlim?1??3ax2?2bx?1? ?3a?2b?1
故有3a?2b?0??4? 由（3）（4）解得a?2,b??3 答：a?2,b??3,c?1,d?0 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明x4?2x?4?0在区间??2,2?内至少有两个实根。
证：（1）?f(x)在??2,0?连续， 且f?0???4?0,f??2??16?0
?由零点定理知，
f(x)=0在??2,0?上至少有一个实根。
（2）?f(x)在?0,2?连续,且
f?0???4?0,f?2??16?4?8?0
?由零点定理知，
f(x)=0在?0,2?上至少有一个实根
（3）综上所述，f(x)=0在??2,2?上至少有两个实根
?124． 设f?x????xusin,x?0，证明（1）?x?0,x?0当u?0时f?x?在x?0连续，当u?1时，
f?x?在x?0可导
解：（1）?limxu1u?0时x?0sinx0
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?1uu?0?sin?1,limx0? ?x?0x??第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案
一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设fx?当u?0时，f?x?在x?0连续 1x?limxu?1sin1u?1时0 (2)?limx?0x?0x?1xxusin?1u?1u?1??sin?1,limx0? ?x?0x??当u?1时，f?x?在x?0可导 总之，当u?0时，f?x?在x?0连续 当u?1时，f?x?在x?0可导 选做题
设对于任意的x，函数满足f?1?x??
???x24?x2?1,则f??1??( )
2A ．1 B ．3 C． -1 D． -3
22解：（1）?fx?x?????x2?1
?f?x??x2?x?1
(2) f??x??2x?1,f???1???2?1??1 选C
2．设f?x??xx?12?2??x2?22?
?x?n?22?,则f??0?? （ ）
n2af?x?且f??0??b,证明f??1??a?b
证：（1）令x?0，f?1?0? ?af?0?，即
2A ．(n!) B． ??1?(n!)
C． n! D． ??1?n!
22解： 令g?x??x?1nf?1??af?0?
(2) f??1??limx?0???x2?22???x2?n2?
f?1?x??f?1?xf?x??x?g(x)
f??x??g?x??xg??x? f??0??g?0??0???1???2? ????n????1??n!?
选B
注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设f?x??ln?1?x?，则fA ．
?5?2n222?limx?0af?x??af?0?x?af??0??a?b
证毕
?x?= ( )
54!?1?x?5 B ．
?4!?1?x?
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C．
5!?1?x?5 D．
?5!?1?x?5
（2）?f??x??f?x?,
解：f??x???1?x?,
?1?f???x????1??f??x? ?f??0??f??0?得f??0??0
（3）g???4f???x???1?1?x?, f????x????1???2??1?x? f?4??3?2??????f?0??0 选A 2???x????1???2???3??1?x?,
?56．设f?x?在x?1有连续导数，且f??1??2,则lim?x?0f(5)?x????1???2???3???4??1?x?dfcosx? ( ) dx???4!(1?x)?5 选A
4．设y?f?x?由方程e2x?yA． 1 B． -1 C． 2 D ．-2
?cos?xy??e?1解：
dfcosx dx??所确定，则曲线y?f?x?在点（0，1）的切线斜率f?(0)= ( )
A ．2 B． -2 C ．
?f?cosx??sinx??sinx2x????12x
11 D． - 222x?y(2)原式?lim?x?0f?cosx
??解：e?2?y???sin?xy???y?xy???0
??1f??1???1 2e??2?y??0???0?0,y??0??f??0???2
选B
5． 设f?x?为可导偶函数，且g?x??f?cosx?，则g'?选B
二、填空题（每小题4分，共24分）
t??x?esint7．若?， ?ty?ecost??????? （ ） 2??d2y则2? dxdy?e?tcost?e?tsint?2t?e(?1) 解：（1）?ttdxesint?ecostd2ydy?dy?dx?2e?3t???(2) dx2dxdtdtsint?cost18
A． 0 B ．1 C ．-1 D． 2 解：（1）g??x??f??cosx???cosx??
?f??cosx????sinx?
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8．设f?x??1?lnx，
2则 f?n??0?= n?1则f??e?=
解：f??x??na0x?(n?1)a1xn?2
11lnxxx解：(1)f??x?? ?2221?lnx1?lnx2lnx?112?（2）f??e?? e2e29． 直线l与x轴平行，且与曲线y?x?e相切，则切点坐标是
x??an?1?? f?n??x??n?n?1???a0xn?n
n??n!a0,f??0??n!a0
1?x?1，求dy。
1?x?1三、计算题（每小题8分，共64分） 13 ．设y?ln??1?e,ye??0?e?1?0 解：?y曲故有切点坐标?0,?1?
10．y?f?x?由方程x?y?sinx?6y?033xx解： (1)y?ln(1?x?1)?ln?1?x?1
?(2)y??1111?x?121?x1? ?x?0? 确定，则dy解：当x?0时，y?6y?0得y?0
3?1x1?x1?x?121?x
（3）dy?1dx
x1?x3x2?3y2?y??cosx?6y??0
y??0??11，dy?x?0?y??0?dx?dx 661?ex11．设y?ln， x1?e则dy? 解：y?x求y?及y??。 ?4?x2，21x2解：(1) y??arcsin?x 22?x?1????2?14．设y?xarcsin11ln?1?ex??ln?1?ex? 221xexx1?ee y???2x?2xx21?e1?ee?1nn?1??2x24?x2x4?x2?arcsinxx? 224?x??arcsinx 212．设f?x??a0x?a1x
???an?1x?a0，
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x???(2)y????arcsin?
2????x?????2??x?1????2?2?14?x2 15．方程sin?xy??lnx?1?1确定y?y?x?，y1dy1?2dy1?tdt解：（1）??12t?t
dxdx21?t2dtdy?2t??1?t2?dydy?dt(2)2? ???dxtdxdxtdt1?t21?x?n?18． 设y?，求y
1?x?1?x?22解：（1）变形，y? ??1?1?x1?x（2）y??2??1??1?x?
?2求
dy?x?0 dx11解：(1)cos?xy??(y?xy?)??y??=0
x?1y（2） 当x?0时，0?lny?1?y?e
y???2??1???2??1?x?
y????2??1???2??1?x???
?4?31（3）cos?0?e??(e?0)?1?y?(0)?0
e1e?1?y?(0) ，y?(0)?e(e?1)
e16．设 y?x?sinx?coxsny???2??1?n!?1?x?n?n?1
19． 设y?y?x? 由方程Fx?y?22??F?x?y??y?0所确
，求y?
定，其中F可导，且
解：（1）lny?lnx?cosxlnsinx
1dyF??2??,F?(4)?1,y?0??2，求?x?0
2dx解：（1）F?x?y11cosx(2)y???sinx?lnsinx?cosx
yxsinxy??x?sinx?cosx?22???2x?2yy??
?F??x?y??1?y???y??0
?1cos2x???sinxlnsinx???xsinx?（2）当x?0时，y?2 ??（3）F??4???4y?(0)??F?(2)?1?y?(0)? ?y?(0)?0
??x?ln1?t217 ．设?，确定y?y?x?，
??y?t?arctantd2y求。 dx2
20
4y?(0)?1?1?y?(0)??y?(0)?0 2
函数与数列的极限的强化练习题答案
