2·3 等差数列的前n项和
要点精讲 1．求和公式：等差数列?an?的公差为d，前n项和为Sn
Sn?n(a1?an)n(n?1)(n?1)n?na1?d?nan?d 2222．公式的几点深化认识： （1）d?0时，Sn?d2dn?(a1?)n表示缺常数项的二此函数 22 当d?0,Sn有最小值，当d?0，Sn有最大值。 （2）Sn?an2?bn(a?0)??an?为等差数列。 （3）Sn?na1?Sn(n?1)dd?S?d?n?n?a1?，说明数列?n?是等差数列。 2n22?n?（4）前n项和、中间n项和、末n项和成等差数列，即2(S2n?Sn)?Sn?(S3n?S2n)
典型例题 1.一个数列{an}，当项的和（
为奇数时，
，当
为偶数时，an?2，求这个数列前
n2是正整数）．
项依次为6，16，26，…，
项，
解：数列{an}的第1，3，5，…，
，它们组成首项为6，公差为10的等差数列，此数列共有
因此它们的和为
[6?5(2m?1)?1]m?5m2?m
2数列{an}的第2，4，6，…
项依次为2，，项，
，…，，
它们组成公比为2的等比数列，此数列共有2(1?2m)因此和为?2m?1?2
1?2所以数列{an}的前
（）项的和为项和为30，前
项和为100，则它的前
项和为（ ）．
2．（1）等差数列{an}的前
（A）130 （B）170 （C）210 （D）260 （2）在等差数列{an}中，
，
．
，则
=_____．
分析：（1）设前则于是∴∴前
项之和，
，，
项之和为，到项之和为，到项之和为，
也成等差数列．
，
．
．
选（C）． （2）由得∵∴
．即
, ，
，
， ．
又，求得．
说明：深入理解等差数列的特性，灵活运用等差数列的性质，通项公式和求和公式去解决问题，寻求合理简捷的运算途径． 3．求数列
123n，，，…，n，…的前项和Sn，并证明2482n2n?n?12n
分析:由于
，数列{n}是等差数列，{1}是等比数列，对这类数列，可采用n2推导等比数列求和公式的方法求和，此法可称为错项相减．
解：∵Sn?∴
123n???...?n， 2482112n?1nSn???...?n?n?1 2482211111nSn????....?n?n?1224822
两式相减得
∴Sn?2?12n?1?n 2n于是，所以
项和记为
，
4.数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，前求An?1111． ???...?S1S2S3Sn解：由已知，
∴，
∴
5．已知数列{an}的前的前
项和
．
，当
时，
．
又当
，
．
．
的等差数列.
项和
，数列{bn}的每一项都有
，求数列
解：
∴数列{an}的通项公式为故数列{an}是首项为9，公差为在
时，
中．由二次函数的性质知， 最大（若令
则
）．而
．
∴{an}的前五项为正， 故
公差为2的等差数列， 其和为(n?5)?又
，
从第6项起又组成一个首项为1，
(n?5)(n?6)?2?n2?10n?25(n?6)
2．
故当时，
的前
项和
． 为
综合上述，可得数列
说明：对于数列的问题要注意从函数的观点去认识．因为项起为负，所以6．已知（
）
的前
项和
；
的取值范围． ，
，这类数
，
的前
项和
只能用分段函数加以表述． 是首次为
，公比也为
的等比数列．令
的前五项为正，从第六
，数列
（1）求数列（2）若数列
中的每一项总小于它后面的项，求
分析：问题（1）是数列求和问题．由已知
列求和的方法是：“错项相减”，问题（2）显然要通过解不等式完成，它的难点在于：如何满足：“数列
中的每一项总小于它后面的项”．
（（
①
因为得①－②得，
，
，①式两边乘以
，
， ②
） ）
解：（1）由已知所以
∵
，
∴ （2）数列即对任意
中的每一项总小于它后面的项， ，
总成立，
即即 由因此即
分下列两种情况研究： ①若
，故
，
对任意，对任意
成立． 成立．
，对任意成立．
，
②若
，
，
，
（其中(a?1)?0)?n??a a?1为了使不等式对任意自然数都成立，只需
?a小于的最小值1， a?1故解之得
或或0?a?
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人教高中数学A版必修5 等差数列的前n项和 精讲精析
