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第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
π??π
??sin，cos1．(2014·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为66?，?则角α的最小正值为( )
11π
A.6 πC.3
πcos6
解析 由tanα＝π＝
sin6答案 C
2．(2014·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A．sin165°＞0 C．tan170°＞0
B．cos280°＞0 D．tan310°＜0 5π
B.6 πD.6
32π
1＝3，故角α的最小正值为3，选C. 2
解析 165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确．
答案 C
θ??θθ
??3．设θ是第三象限角，且cos2＝－cos2，则2是( ) ??A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
3π
解析 由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π＜θ＜2kπ＋2(k∈Z)，
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πθ3πθθθ
kπ＋2＜2＜kπ＋4(k∈Z)；又|cos2|＝－cos2，所以cos2≤0，从而2kππθ3ππθ3π
＋2≤2≤2kπ＋2，(k∈Z)，综上可知2kπ＋2＜2＜2kπ＋4，(k∈Z)，θ
即2是第二象限角．
答案 B
4．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
A．2 1C.2
B．1 D．3
解析 设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝1122rl＝r(4－2r)＝－r＋2r＝－(r－1)＋1，∴当r＝1时S最大，这时22l2l＝4－2r＝2，从而α＝r＝1＝2.
答案 A
3
5．若一个α角的终边上有一点P(－4，a)且sinα·cosα＝4，则a的值为( )
A．43
4
C．－43或－33
B．±43 D.3
解析 依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终334
边上且sinα·cosα＝4，易得tanα＝3或3，则a＝－43或－33.
答案 C
6．(2014·海口调研)已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则
2
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在[0,2π]内α的取值范围是( )
?ππ?A.?4，2? ???3π5?C.?4，4π? ??
5??
B.?π，4π? ??
5??ππ??
D.?4，2?∪?π，4π? ????
?sinα－cosα>0，
解析 由已知得?
tanα>0.?
5??ππ??
解得α∈?4，2?∪?π，4π?.
?
?
?
?
答案 D 二、填空题
7．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析 由题意知，tanα＜0，cosα＜0，所以α是第二象限角． 答案 二
π8．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动3弧长到达Q点，则Q的坐标为________．
ππ????cos，sin解析 根据题意得Q33?， ?
?13?
?即Q，?.
2??2?13?
答案 ?，?
2??2
3
9．已知角α的终边在直线y＝－4x上，则2sinα＋cosα＝__________.
3
解析 由题意知tanα＝－4，∴α在第二象限或第四象限，故sinα
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＝3cosα＝－4345，5或sinα＝－5，cosα＝5，
∴2sinα＋cosα＝22
5或－5. 答案 2或－255 三、解答题
10．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝3
6x，求sinα、tanα的值．
解 ∵P(x，－2)(x≠0)， ∴P到原点的距离r＝x2＋2.
又cosα＝3cosα＝x3
6x，∴x2＋2＝6x，
∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝23. 当x＝10时，P点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sinα＝－65
6，tanα＝－5； 当x＝－10时，P点坐标为(－10，－2)， ∴sinα＝－6tanα＝5
6，5. 11．已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6， ︵
(1)求AB的弧长； (2)求弓形OAB的面积． 解 (1)∵α＝120°＝2π
3，r＝6， ︵∴AB的弧长为l＝2π
3×6＝4π.
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11
(2)∵S扇形OAB＝2lr＝2×4π×6＝12π，
122π123
S△ABO＝2r·sin3＝2×6×2＝93， ∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.
12．已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC＝α.
sin2α＋sin2α?34?
(1)若A点的坐标为?5，5?，求2的值；
??cosα＋cos2α(2)求|BC|2的取值范围．
?34?
解 (1)∵A点坐标为?5，5?，
??
4
∴tanα＝3.
sin2α＋sin2αsin2α＋2sinαcosα∴2＝＝ cosα＋cos2α2cos2α－sin2αsin2αsinα＋2×cos2αcosαtan2α＋2tanα
＝ sin2α2－tan2α
2－cos2α
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【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数
