2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
1．A 6．C
2．C 7．B
3．C 8．D
4．D 9．A
5．A 10．B
11．A 12．B 13．0.98 15．63
14．–3
16．26；2?1
17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB?(1,0,0)，CE?(1,?1,1)，
CC1?(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
??CB?n?0,?x?0,即? ?x?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
??CC1?m?0,?2z?0,即? ??x?y?z?0.??CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．
|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为
18．解：（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙
0.4+（1–0.5）×得分．因此P（X=2）=0.5×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
0.4]×0.5×0.4=0.1． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?1(an?bn)． 2又因为a1+b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公比为
1的等比数列． 2由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8，即an?1?bn?1?an?bn?2． 又因为a1–b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，an?bn?1，an?bn?2n?1． n?12所以an?111[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?， 222111bn?[(an?bn)?(an?bn)]?n?n?．
22220．解：（1）f（x）的定义域为（0，1）
（1，+∞）．
因为f'(x)?12??0，所以f(x)在（0，1），（1，+∞）单调递增． x(x?1)2e?1e2?1e2?32?0，f(e)?2?2因为f（e）=1??2?0，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，e?1e?1e?1=0．即f（x1）又0?x?1111??f(x1)?0，?1，f()??lnx1?11）故f（x）在（0，有唯一零点．
x1x1?1x1x1综上，f（x）有且仅有两个零点．
11?lnx0x?e（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=e上．
x0x011x0?1?lnx0?x0?1x0xx0?11?0?． 由题设知f(x0)?0，即lnx0?，故直线AB的斜率k?x0?1?lnx0?x0?x0?1?xx00x0?1x
曲线y=e在点B(?lnx0,111)处切线的斜率是，A(x,lnx)y?lnx 曲线在点，00处切线的斜率也是x0x0x0x
所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e的切线．
x2y2yy1?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原点，焦21．解：（1）由题设得???，化简得?42x?2x?22点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．
?y?kx2?由?x2y2得x??．
2?11?2k???42记u?21?2k2，则P(u,uk),Q(?u,?uk),E(u,0)．
于是直线QG的斜率为
kk，方程为y?(x?u)． 22k?y?(x?u),??2由?2得 2?x?y?1??42(2?k2)x2?2uk2x?k2u2?8?0．①
u(3k2?2)uk3设G(xG,yG)，则?u和xG是方程①的解，故xG?，由此得yG?． 222?k2?kuk3?uk212?k从而直线PG的斜率为． ??2u(3k?2)k?u2?k2所以PQ?PG，即△PQG是直角三角形．
2ukk2?1（ii）由（i）得|PQ|?2u1?k，|PG|?，所以△PQG的面积22?k218(?k)18k(1?k)k． S?|PQ‖PG|??222(1?2k)(2?k)1?2(1?k)2k2设t=k+
1，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． k8t16[2+t=2k=1S在，∞）单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为． 21?2t916． 9??时，?0?4sin?23． 33因为S?因此，△PQG面积的最大值为
22．解：（1）因为M??0,?0?在C上，当?0?由已知得|OP|?|OA|cos??2． 3??????|OP|?2， 3?设Q(?,?)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中，?cos???经检验，点P(2,)在曲线?cos????3??????2上． 3?所以，l的极坐标方程为?cos?????????2． 3?（2）设P(?,?)，在Rt△OAP中，|OP|?|OA|cos??4cos?, 即 ??4cos?． 因为P在线段OM上，且AP?OM，故?的取值范围是?,?．
42??????所以，P点轨迹的极坐标方程为??4cos?,???,? ．
4223．解：（1）当a=1时，f(x)=|x?1| x+|x?2|(x?1)．
当x?1时，f(x)??2(x?1)?0；当x?1时，f(x)?0． 所以，不等式f(x)?0的解集为(??,1)． （2）因为f(a)=0，所以a?1．
当a?1，x?(??,1)时，f(x)=(a?x) x+(2?x)(x?a)=2(a?x)(x?1)<0． 所以，a的取值范围是[1,??)．
2??????
2019年全国II卷理科数学高考真题
