破解立体几何中的动态问题
动态问题需要极高的空间想像能力与化归处理能力，在各省市的高考选择与填空中出现有较高的频次。动态立体几何指的是求由点、线、面的变化引起的相关变量的取值范围或最值问题。就变化起因大致可分为以下三类：一是移动；二是翻折；三是旋转。就所求变量可分为：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离。 1.简化图形——“大道至简”
从复杂的图形中分化出最简的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，从混沌中找出秩序是问题解决的关键。
例1（2006年浙江省数学高考理科试题第14题）正四面体棱长为1，棱
CBDABCD的
内的
αA图1AB//平面?（如图1），则四面体上的所有点在平面?射影构成的图形面积的取值范围是_______。
去掉与问题无关的面，将四面体看成是以纸折出这个二面角，不妨将
，用AB为棱的二面角C?AB?D（二面角大小一定）
AB置于平面?内，将二面角绕
AB转动一周，观察点C,D在平面?上的
射影，可以发现点C,D在平面?上的射影始终在
AB的射影的中垂线上，
BCBDCBCC\DC'(D')D\αAαA图3当CD//平面?时，四边形
图4DA图5，当CD?平面?时（此时点C(D)到AB的距离即为异面直线AB与ABCD面积最大1（如图3）
2，四边形ABC'(D')面积最小CD的距离）
2（如图4），转动过程中C,D在平面?4上的射影从C,D变化至C'',D''。
例2．（2017年台州市高三模拟试题）如图，在棱长为2正四面体A?BCD中，E、F分别为直线AB、
1
CD上的动点，且|EF|?6．若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于 ▲ ． (注：|L|表示L的测
度，在本题， L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积.)
四面体只需抽象为两条异面直线AB与CD，互相垂直且距离为点E、F（满足迹。
设OO'为异面直线AB与CD的公垂线段，过点O作点E作EE'?EAPD2，两个动
BFCEF?3）别在这两条异面直线上移动，求EF的中点的轨
(第17题图)
A'B'//AB，过
AOEBA'B'，点P在A'B'与CD确定的平面上的投影G为
PE'F的中点。则A'B'?CD，E'F?1，长度为定值的线段两端
1点E'、F分别在互相垂直的直线上移动，其中点的轨迹是一个半径为
2点P的轨迹是一个等圆|L|??。
圆，
CFA'GO'E'DB' 2
例4如图，直线l?平面?，垂足为O。正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为2.点A上直线l上的动点，点
B'在平面?内，则点O到CD'的中点P的距离的最大值为____.
分析：从图形分化出四个点O,三角形，固定
A,B',P，其中AOB'为直角
lACBODPD'AOB'，点P的轨迹上是在与AB'垂直的平面上
以AB中点Q为圆心的圆。
1OP?OQ?QP?AB'+2=2?2，当且仅当
2QA'C'B'OQ?AB'时取等号，即当直线AB'与平面?OP取到最大值。
成45?角时，
α直观是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。直观感知的前提是去掉图形中的所有枝蔓，让几何实质“形销骨立”，洞察其内在的几何意义。
2.特殊分析——“穷妙极巧”
对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案。
例在正四面体ABCD中，F为直线BD上的动点，则面AEF与面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是
极端位置法：
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高考数学专题复习破解立体几何中的动态问题
