不动点理论及其应用

不动点理论及其应用

主要内容：

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不动点理论—压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用

目录：

一、 引言 二、 压缩映像原理 三、 在微分方程中的应用 四、 在中学数学中的应用 五、 其它

一、 引言

取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，

那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。

函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数f(x)在取值过程中, 如果有一个点x0 使f(x0)?x0,则 x0 就是一个不动点。

二、 压缩映像原理

定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）

设 (X,?) 是一个完备的距离空间， T 是(X,?) 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。

这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射

距离空间又称为度量空间。

定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ?(x,y)， 满足下面三个条件：

（1）。?(x,y)?0， 而且?(x,y)?0， 当且仅当 x?y； （2）。?(x,y)??(y,x)；

（3）。?(x,z)??(x,y)??(y,z)， （?x,y,z?X）。

这里 ? 叫做 X 上的一个距离，以 ? 为距离的距离空间 X 记作(X,?)。

定义：（完备的距离空间）距离空间(X,?)中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。

定义：（压缩映射）称映射 T:(X,?)?(X,?) 是一个压缩映射，如果存在 0?a?1， 使得 ?(Tx,Ty)?a?(x,y) (?x,y?X)成立。

三、 在微分方程中的应用

定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题

?dy?f(x,y), ? ?dx??y(x0)?y0.假设 f(x,y) 在矩形区域

R:|x?x0|?a,|y?y0|?b

内连续，而且对 y 满足Lipschitz条件，则上述问题在区间

I?[x0?h,x0?h] 上有且仅有一个解，其中

h?min{a,a},M?max|f(x,y)|.

(x,y)?RM（1）。 传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明：

a. 转换成等价的积分方程

y?y0??xf(t,y)dt

0x

b. 构造皮卡迭代序列

c. 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解 d. 证明解唯一

（2）。压缩映像原理证明

根据上面的理论，先定义 X?C[x0?h,x0?h]?C(I) 然后， 给一个度量

?(x,y)?max|x(t)?y(t)|

t?I 由积分方程 y?y0??xf(t,y)dt， 我们可以定义一个映射：

0x (Ty)(x)?y0??xf(t,y(t))dt

0x我们要证明两点：

a. 任意 x?X， 则 Tx?X

b. 检验映射 T:(X,?)?(X,?) 是一个压缩映射

tt?It?(Tx,Ty)?max|?f(?,x(?)d???f(?,y(?))d?|x0x0

?2hmax|f(t,x(t))?f(t,y(t))|t?I 注意函数 f(x,y)对 y 满足Lipschitz条件： |f(t,x1)?f(t,x2)|?L|x1?x2|, 其中 L 是一个常数。 容易得到

tt?It?(Tx,Ty)?max|?f(?,x(?)d???f(?,y(?))d?|x0x0

?2hmax|f(t,x(t))?f(t,y(t))|t?I

?2hL?(x,y) 因此，只要 h 取得适当小， 使得 2hL?1， 则映射

T:(X,?)?(X,?) 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y，

使得

y?y0??xf(t,y)dt

0x 这样，存在与唯一性同时成立。