2018年高考数学总复习教师用书第八章 立体几何与空间向量 第6讲 空间向量及其运算 Word版含答案

第讲 空间向量及其运算

最新考纲 .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；.掌握空间向量的数量积及其坐

标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

知 识 梳 理

名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量 .空间向量中的有关定理 ()共线向量定理

空间两个向量(≠)与共线的充要条件是存在实数λ，使得＝λ. 推论 如图所示，点在上的充要条件是＝＋①

概念 模为的向量 长度(模)为的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 .空间向量的有关概念

表示 ＝ 的相反向量为－ ∥ 其中叫直线的方向向量，∈，在上取＝，则①可化为＝＋或＝(－)＋. ()共面向量定理

共面向量定理的向量表达式：＝＋，其中，∈，，为不共线向量，推论的表达式为＝＋或对空间任意一点，有＝＋＋或＝＋＋，其中＋＋＝. ()空间向量基本定理

如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ，λ，λ，使得＝λ＋λ＋λ，空间中不共面的三个向量，，叫作这个空间的一个基底. .空间向量的数量积及运算律 ()数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量，，在空间任取一点，作＝，＝，则∠叫做向量与的夹角，记作〈，〉，其范围是[，π]，若〈，〉＝，则称与互相垂直，记作⊥. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量，，则〈，〉叫做向量，的数量积，记作·，即·＝〈，〉. ()空间向量数量积的运算律

①结合律：(λ)·＝λ(·)； ②交换律：·＝·； ③分配律：·(＋)＝·＋·. .空间向量的坐标表示及其应用 设＝(，，)，＝(，，).

数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 ＋＋ ＝λ，＝λ，＝λ ＋＋＝ ＋＋) 〈，〉＝ ＋＋)·(＋＋)) · ＝λ(≠，λ∈) ·＝ (≠，≠) 〈，〉(≠，≠) 诊 断 自 测

.判断正误(在括号内打“√”或“×”)()空间中任意两非零向量，共面( )

()对任意两个空间向量，，若·＝，则⊥( )

()若{，，}是空间的一个基底，则，，中至多有一个零向量( )

()若·＜，则〈，〉是钝角( )

解析 对于()，因为与任何向量数量积为，所以()不正确；对于()，若，，中有一个是，则，，

共面，所以()不正确；对于()，若〈，〉＝π，则·<，故()不正确.

.平行

答案 ()√ ()× ()× ()×

.在空间直角坐标系中，(，，)，(－，－，)，(，，)，(，，)，则直线与的位置关系是( )

.垂直 .异面

.相交但不垂直

解析 由题意得，＝(－，－，)，＝(，，－)，

∴＝－，∴与共线，又与没有公共点.

.(选修－改编)如图所示，在平行六面体－中，为与的交点.若＝，＝，＝，

∴∥.答案

＋＋ －＋

则下列向量中与相等的向量是( )

.－＋＋.－－＋

解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝－＋＋.