??1?A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1?1,?2?2,?,?n?n)???1,?2,?,?n????????????P?2????. ???n???????????√ 若A?B, C?D,则：??A???B???C????????. D?√ 若A?B,则f(A)?f(B),f(A)?f(B).
二次型 f(x1,x2,?,xn)?XTAX A为对称矩阵 X?(x1,x2,?,xn)T
A与B合同 B?CTAC. 记作：A?B （A,B为对称阵,C为可逆阵）
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A?B √ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)
正交变换n√ f(x1,x2,?,xn)?XAX经过合同变换TX?CY化为f(x1,x2,?,xn)??d1iyi2标准型.
可逆线性变换√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.
√ 当标准型中的系数di为1，-1或0时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
?1?????√ 任一实对称矩阵A与惟一对角阵???????????????合同. ??????0?r(A)?正惯性指数?负惯性指数?1?1??10? 11
√ 用正交变换法化二次型为标准形:
① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C（正交矩阵）,C?1AC??；
④ 作变换X?CY,新的二次型为f(x1,x2,?,xn)?n?diyi2,?的主对角上的元素di即为A的
1特征值.
正定二次型 x1,x2,?,xn不全为零，f(x1,x2,?,xn)?0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
① 正惯性指数为n； ② A的特征值全大于0；
③ A的所有顺序主子式全大于0；
④ A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQ?E； ⑤ 存在可逆矩阵P，使A?PTP （从而A?0）；
????1⑥ 存在正交矩阵，使CTAC?C???1AC??2???? ????n?√ 成为正定矩阵的必要条件：aii?0 ； A?0.
12
?i大于0）.
（
线性代数超强总结
