?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ??A??? A的列（行）向量线性相关??A的列（行）向量线性无关 ??ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ?A?p1p2???ps,pi是初等阵 ?n?????R,Ax??总有唯一解向量组等价??具有相似矩阵?????反身性、对称性、传递性?矩阵合同?
√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④tr(E)=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. √ 行列式的计算：
A?BA?A??Bmn ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则
??B?A?B??AB
??(?1)AB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?a1na2n?1?an1??a2n?1?an1a1n?(?1)n(n?1)2 ③关于副对角线：
a1na2n?an1
??√ 逆矩阵的求法:
①A??1A?A
1
等行变换?1②(A?E)?初????(E?A)
?a③??c?a1?④?????A1?⑤????b??d??1?d??ad?bc??c1?????an??1?b??A? ?a??CB??AT???TD??BTTC?T?D?
?1a2??a11????????A1?1???????1a2???????? ???1??anan???????1An???? ????Ana2?a1?????????????a1?11an?1a2???? ???A2??????An??1A2?1A2??A1???????1???????1?A1??A2?1?1An???????
√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn
√ 设f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E为A的一个多项式.
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，AB的列向量为
r1,r2,?,rs,
?用A,B中简 ?T 若??(b1,b2,?,bn),则 A??b1?1?b2?2??bn?n?单的一个提 ?即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量；?高运算速度 AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? 则：ri?A?i,i?1,2,?,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,?,A?s)√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；
用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
?A11?与分块对角阵相乘类似,即：A???????B11???,B??????Akk???????B22?????Bkk?A22?
2
?A11B11?AB??????A22B22???? ??AkkBkk??√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B 当A?0时,
等行变换 (I)的解法：构造(A?B)?初????(E?X)（当B为一列时, 即为克莱姆法则）T
(II)的解法：将等式两边转置化为AXTTT?B，
用(I)的方法求出X，再转置得X√ Ax??和Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 判断?1,?2,?,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,?,?s线性无关； ② ?1,?2,?,?s是Ax?0的解；
③ s?n?r(A)?每个解向量中自由变量的个数.
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.
向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示.
3
⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n. ⑨ r(A)?0?A??.
⑩ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法惟
一.
? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n? 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B
? 矩阵A与B等价?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示
?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向
量组等价；
? 任一向量组和它的极大无关组等价.
? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
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? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关； 若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：
?1,?2,???,?n线性无关.
线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2???xn?n??
?a11?a21A??a12a22??a1n???1j??x1??b1?????????2ja2nx2b2?,j?1,2,?,n ?,x???,???? ???j?????am1am2
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线性代数超强总结
