求解广义BBM-Burgers方程的一个两层非线性守恒差分
格式
胡劲松, 王婷婷, 陈 涛
【摘 要】对广义BBM-Burgers方程的初边值问题进行了数值研究，提出一个两层非线性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模拟方程本身的一个守恒量，得到差分解的先验估计和存在唯一性，并利用能量方法分析该格式的二阶收敛性与无条件稳定性。
【期刊名称】西华大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(034)003 【总页数】6
【关键词】广义BBM-Burgers方程；差分格式；守恒；收敛性；稳定性 ·基础学科 ·
BBM方程是由Benjamin等[1]为描述非线性弥散系统中长波的单向传播而提出来的。它是对用来描述浅水波损耗现象的KdV方程的一个修改，因此对这类问题的研究有重要的理论价值。关于广义BBM-Burgers方程的解的存在唯一性、收敛性以及解的大时间渐近性状态等都有了很多研究[2-5]。由于广义BBM-Burgers方程的解析解很难求出，所以研究其数值解就非常有意义。Kamel Al-Khaled 等[6]利用Adomian分解方法对广义BBM-Burgers方程的数值解进行了研究；文献[7]利用Fourier 拟谱方法讨论了广义BBM-Burgers方程的周期初边值问题的数值解。
本文考虑如下一类广义BBM-Burgers方程的初边值问题： ut-uxxt+ux-uxx+upux=0，x∈(xL,xR)，t∈(0,T];
(1)
u(x,0)=u0(x)，x∈[xL,xR]; (2)
u(xL,t)=u(xR,t)=0， t∈[0,T]。 (3)
其中：p≥1为正整数；u0(x)是已知函数。由于方程(1)的物理渐近边界条件为：当|x|→时，u→0，ux→0，所以不难验证，初边值问题(1)—(3)具有如下守恒量： ， (4)
其中Q(0)为仅与初始条件有关的常数。
文献[8-9]用有限差分方法对问题(1)—(3)进行数值方法研究，分别提出三层的二阶差分格式，但都没有模拟守恒量(4)。本文利用文献[10-11]处理广义正则长波(GRLW)方程和广义对称正则长波(GSRLW)方程的技巧，对问题(1)—(3)提出了一个两层非线性Crank-Nicolson差分格式，格式合理地模拟问题的守恒量(4)，讨论了其差分解的存在唯一性并分析了格式的收敛性和稳定性。 引理1 设[xL,xR]，则初边值问题(1)—(3)的解满足：其中C为一般正常数(本文中，C在不同的地方有不同的取值)。 证明 令 ，
并注意到(3)式和ut-uxxt=-ux-upux+uxx，有 。
故E(t)关于时间t是单调递减，即
。 也即
‖u‖L2≤C，‖ux‖L2≤C；
再由Sobolev不等式有‖u‖L≤C。
1 差分格式及其守恒律
对区域[xL,xR]×[0, T]作网格剖分，取空间步长，时间步长为。在本文中，记, j=0, 1, 2, …, J}，用表示u(x, t)在(xj, tn)点处的差分逼近，即, tn)；并定义如下记号： ， 。
由于，于是对问题(1)—(3)考虑如下有限差分格式： ，
j=1, 2, …, J-1，n=1, 2, …, N; (5) , 1, 2, …, J; (6)
, 1, 2, …, N。 (7)
为了分析方便，本文中定义 。
差分格式(5)—(7)对守恒量(4)的数值模拟如下：
求解广义BBM-Burgers方程的一个两层非线性守恒差分格式
