????n??????可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)????n????????r(A)?r(A??) ??不可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) ??r(A)?1?r(A??)??Ax??有无穷多解???Ax??有非零解??????A?0当A为方阵时??1,?2,?,?n线性相关 ?Ax??有唯一组解???Ax??只有零解??????A?0当A为方阵时
??1,?2,?,?n线性无关 ??????克莱姆法则 当A为方阵时
TT矩阵转置的性质： (A)?A (AB)?BATTT ?1(kA)?kATT AT?A ?1(A?B)?A?BTTT (A)?(A)?1kk?1?1?1矩阵可逆的性质： (A)?A (AB)?1?BA?1 (kA)?1?k?1A?1 (kA)?k?n?1A?1?A (A)?(A)(A)?(A)(A)?(A)T??1???1TT?1 ?AA?A?k AA?AA?AE ???1??伴随矩阵的性质： (A)?An?2A (AB)?BA??? A? A??An?1?T (A?)k?(Ak)? ?n 若r(A)?n ??r(A)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?
AB?AB kA?knA Ak?A k6
?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,?,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k??? ?1,?2,?,?k,?1?1??2?2??k?k也是它的解?????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解
?(5) ?1,?2是Ax??的两个解,?1??2是其导出组Ax?0的解??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,?,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??? ?1?1??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,则r(A)?r(A??),从而Ax??一定有解. 当m?n时,一定不是唯一解.? m是r(A)和r(A??)的上限. √ 矩阵的秩的性质：
① r(A)?r(AT)?r(ATA) ② r(A?B)≤r(A)?r(B) ③ r(AB)≤min?r(A),r(B)? ④ r(kA)???Ar ⑤ ???方程个数向量维数?未知数的个数向量个数,则该向量组线性相关.
?r(A) 若k?0?0 若k?0
????r(A)?r(B) B?⑥若A?0,则r(A)≥1
⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0,则r(A)?r(B)≤n ⑧ 若P,Q可逆,则r(PA)?r(AQ)?r(A) ⑨ 若A可逆,则r(AB)?r(B)
若B可逆,则r(AB)?r(A)
⑩ 若r(A)?n,则r(AB)?r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:
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标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
?与?正交 (?,?)?0.
AB?0?B?? AB?AC?B?C
?是单位向量 ??(?,?)?1.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?(c?,?)?(?,c?)
施密特 ?1,?2,?3线性无关,
??1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1(?1?1)??(?3,?1)(?3,?2)???????2?331(?1?1)(?2?2)?
单位化：?1?正交矩阵 AAT?E.
?1?1 ?2??2?2 ?3??3?3
√ A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成?n的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① AT?A?1；
② AAT?ATA?E；
③ A是正交阵,则AT（或A?1）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.
A
的特征矩阵 ?E?A.
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AA的特征多项式 ?E?A?f(?).
的特征方程 ?E?A?0. Ax??x ? Ax与x线性相关
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.
√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax?0的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量. √ A??1?2??n ??i?trA
1n?a1???a2???b,√ 若r(A)?1,则A一定可分解为A=1??????an?b2,?,bn?、A2?(a1b1?a2b2???anbn)A,从而A的特征值为：?1?trA?a1b1?a2b2???anbn, ?2??3????n?0. √ 若A的全部特征值?1,?2,?,?n，f(x)是多项式,则:
① f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)； ② 当A可逆时,A?1的全部特征值为?1,?1,?,?1,
12n A?的全部特征值为?,?,?,?.
12nAAA?kA??aA?bE?1??A√ ?是A的特征值,则:?2A??Am??A??k?a??b1分别有特征值???2m.
A??kA??aA?bE?1??A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?2?A?Am??A??Ak?a??b1关于???2m的特征向量.
A?与B相似 B?P?1AP （P为可逆阵） 记为：A?B
√ A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成
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的矩阵，P?1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值. √ A可对角化的充要条件：n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数. √ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.
A与B正交相似 B?P?1AP （P为正交矩阵）
√ 相似矩阵的性质：① A?1?B?1 若A,B均可逆
② AT?BT
③ Ak?Bk （k为整数）
④ ?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
即:x是A关于?0的特征向量,P?1x是B关于?0的特征向量. ⑤ A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ⑥ r(A)?r(B) ⑦ tr(A)?tr(B)
√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；
③ 不同特征值的特征向量必定正交；
④ k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；
⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=n?r(?E?A)）.
A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：A?? （称?是A的相似标准型）
√ 若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）?r(A). √ 设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：
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线性代数超强总结
