第三章 三角函数、解三角形
课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角
函数
一、选择题
1．将－300°化为弧度为( B ) 45A．－3π B．－3π 77C．－6π D．－4π π5
解析：－300×180＝－3π. 8π
2．tan3的值为( D ) 33A.3 B．－3 C.3 D．－3
8π2π2π
解析：tan3＝tan(2π＋3)＝tan3＝－3.
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2 2C.sin1
B．sin2 D．2sin1
112
解析：r＝sin1，l＝θ·r＝2·＝sin1sin1，故选C.
?31?
?4．已知点P，－2?在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值2??
为( C )
5π
A.6
2πB.3
11πC.6 5πD.3
?31???在第四象限，所以根据三角函数的定解析：因为点P，－2??2
1
－2
311π
义可知tanθ＝＝－3，又θ∈[0,2π)，可得θ＝6.
32
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点4
A，点A的纵坐标为5，则cosα的值为( D )
44A.5 B．－5 33C.5 D．－5
4
解析：因为点A的纵坐标yA＝5，且点A在第二象限，又因为圆3
O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－5，由三角函数的定义可得cosα3＝－5.
6．(2024·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，1
且cosα＝5x，则tanα＝( D )
4A.3 3C．－4
3B.4 4D．－3
1
解析：因为α是第二象限角，所以cosα＝5x<0，即x<0.又cosα1x44＝5x＝2，解得x＝－3，所以tanα＝x＝－3.
x＋16
7．点P(cosα，tanα)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
??cosα<0，解析：若点P(cosα，tanα)在第二象限，则?可得α的
??tanα>0，??cosα<0，
终边在第三象限；反之，若角α的终边在第三象限，有?即
?tanα>0，?
点P(cosα，tanα)在第二象限，故选项C正确．
8．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是( C )
A．[－2,2] C．[－1,1]
B．[－2，2]
?11?
D.?－2，2? ?
?
解析：设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝cosα，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cosα－sin(α＋30°)31
＝－2sinα＋2cosα＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
二、填空题
9．－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°，最大负角是－217°.
解析：因为－2 017°＝－6×360°＋143°，所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角，与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°，故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.
?α?αα
??10．设角α是第三象限角，且sin2＝－sin2，则角2是第四象限??
角．
3π
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋2(k∈Z)，则kπ
?α?πα3παα＋2<2 ?? αα sin2<0，所以2只能是第四象限角． 2 11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的3，55 面积等于圆面积的27，则扇形的弧长与圆周长之比为18. 2r 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为3，记扇形的圆心角为1?2r?2 ??2α?3?55π α，则扇形与圆面积之比为πr2＝27，∴α＝6.∴扇形的弧长与圆5π2·rl635 周长之比为c＝2πr＝18. 12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它11 们的终边关于y轴对称．若sinα＝3，则sinβ＝3. 解析：解法1：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P1(22，1)，其关于y轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时1 sinβ＝3；当角α的终边在第二象限时，取角α终边上一点P2(－22，1 1)，其关于y轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sinβ＝3.综1 合可得sinβ＝3. 解法2：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，1 得sinβ＝sinα＝3. 1 解法3：由已知可得，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝3 (k∈Z)． 能力拓展 ?2π2π??13．已知角α的终边上一点P的坐标为sin3，cos3?，则角α的最?? 小正值为( D ) 5π2π A.6 B.3 5π11πC.3 D.6 解析：由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα2π3π11π＝sin3＝2，故α＝2kπ－6(k∈Z)，所以α的最小正值为6. 14．(2024·武汉模拟)已知角α的顶点在原点，始边在x轴正半轴，3终边与圆心在原点的单位圆交于点A(m，3m)，则sin2α＝2. 解析：由题意得|OA|2＝m2＋3m2＝1， 1 故m＝4. 2 由任意角三角函数定义知cosα＝m，sinα＝3m， 3 由此sin2α＝2sinαcosα＝23m2＝2. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( D ) A．若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβ B．若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβ C．若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβ D．若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ 解析：由三角函数线可知选D.
高考数学人教版理科 任意角和弧度制及任意角的三角函数习题 含解析
