（2）由题意，又
ADDG，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m， ······ =AOOCBEEF，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m， =BOOC2
∴sDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0＜m＜2) .
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
2
(3)∵SDEFG=12m-6m (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
2222设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴y=x-，
33331又可求得抛物线P的解析式为：y=x2+x-4，
2令
?1?61221. 设射线DF与抛物线P相交于点N， x-=x2+x-4，可求出x?3323-1-361则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
-5+61FNHE3==， =9DFDE3点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
-5+61k≠且k＞0.
9说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：
ADDGFGCP(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， ==AOOCABOC-2--1-61∴sDEFG=DG·FG=6.
练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ················· 1分 ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为
，∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为． ·············· 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
11
··············· 5AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝分
解得····················· 6分
所求抛物线关系式为：．········ 7分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ·········· 8分 ∴
（ 0＜
OA（AB+OC）
AF·AG
OE·OF
CE·OA
＜4） ········ 10分
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ······· 12分 （4）当
练习2.[解] （1）当0≤x≤1时，AP?2x，AQ?x，y?（2）当S四边形ABPQ?时，GB=GF，当
时，BE=BG． 14分
1AQAP?x2，即y?x2． 2221S正方形ABCD2时，橡皮筋刚好触及钉子，BP?2x?2，AQ?x，1?2x?2?x??2?1?22，
?x?4． 3（3）当1≤x≤即y?3x?2．
4AQ?BPx?2x?2时，AB?2，PB?2x?2，AQ?x，?y?AB??2?3x?2， 322作OE⊥AB，E为垂足．
4≤x≤2时，BP?2x?2，AQ?x，OE?1， 33y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?1?2x?2?1?1?x?1?x，
2223即y?x．90≤∠POQ≤180或180≤∠POQ≤270
2当
（4）如图所示：
3
y
2
1 O
1 4 32 x
练习3. 解](1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)， ∴?4a?2b?c?0, ?c?4.?
12
??4a?2b?c?0,∴ a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)
(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*).
∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴ B、D关于原点O对称， ∴ 点D的坐标为D(-m,-n) .
由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即点D的坐标满足y= -x2+4，∴ 点D在l2上. (3) □ABCD能为矩形. 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)，则OH=| x0|，BH=| x02-4| . 易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形.
在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 . 所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形， 此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1).
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ . 设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB， EOBHEO1∴ = ，∴. ?AOAH22?3∴ EO=4-23 .
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，
11
其面积为S=2SΔACE=2× × AC ×EO =2× ×4×(4-23 )=16 - 83 .
22
三．二次函数与四边形的动态探究 例1.解：
(1) 由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°． 又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴
x3POBA114．即?．∴y=x(4?x)??x2?x(0＜x＜4)． ?y4?xOEAP33313(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
且当x=2时，y有最大值．
?a?2,?c?1,?设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则?∴3 ?a?b?c?0,?b??,??16a?4b?c?3.?2??c?1.???1123x?x?1． 22(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)． 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， ∴该直线为y=x＋1．
y=
?y?x?1,x?5,∴Q(5，6)． 由?得??123?
y?x?x?1,?y?6.?22?故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
13
例2.解：
（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………4分
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达
式，得 解得
∴所求抛物线的表达式为y＝x2 x＋8 ………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴
即
，∴EF＝
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m …………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………11分
（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………12分 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． …………………………14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
例3解: （1）相等。理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形， 所以S?EGH?S?EGF,S?ECN?S?ECP,S?CGQ?S?CGM
所以S?EGH?S?ECP?S?CGM?S?EGF?S?ECN?S?CGQ, 即：S?S?
14
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，PC?3(5?x),MC?4x,
55所以S?PCMC?12x(5?x)，即S??12x2?12x(0?x?5)
25255配方得：S??1255(x?)2?3，所以当x?时，S有最大值3 25225（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，?ABE是等腰三角形
2
练习1． 解：
（1）点 M 1分
（2）经过t秒时，NB?t，OM?2t
则CN?3?t，AM?4?2t∵?BCA=?MAQ=45∴QN? CN ?3?t ∴PQ ?1? t ∴S△AMQ22111??2??t?t?2 ∴S??t?t?2???t???9 ?AMPQ?(4?2t)(1?t)22?2?4∵0≤t≤2∴当t?1时，S的值最大． 2（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则CN?3?t，AM?4?2t∴?BCA=?MAQ=45 ①若?AQM?90，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线 ∴
PQ?AP?111MA∴1?t?(4?2t)∴t? 222
∴点M的坐标为（1，0）
②若?QMA?90，此时QM与QP重合∴QM?QP?MA∴1?t?4?2t∴t?1 ∴点M的坐标为（2，0）
练习2.解：
（1）(e?c，d)，(c?e?a，d)．
（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE?BB1于
E，DF?CC1于点F．
在平行四边形ABCD中，CD?BA，又
BB1∥CC1，
y??EBA??ABC??BCF??ABC??BCF??FCD?180．
B(c，d) C ??EBA??FCD．
又
F D(e，f) ?BEA??CFD?90，
EO A(a，b) B1 A1C1 D1 x
?△BEA≌△CFD．
?AF?DF?a?c，BE?CF?d?b．
15
中考数学二次函数与四边形综合专题
