晋中学院本科生毕业(设计)论文
图2.8当U0??,取k1?2,?2?10 时的粒子的几率密度图.
图2.9当E?U0,取k1?2,?2?1000 时的粒子几率密度图.
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3 方形势垒散射
3.1 模型与方程
考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域?0?x?a?内等于常量
U0?U0?0?,而在这个区域外等于零,即
U?x??U0,0?x?a (3.1)
U?x??0x?0,x?a我们称这种势为方势垒?图3.1?.具有一定能量E的粒子由势垒左方?x?0?向右方运动.
粒子的波函数?所满足的定态薛定谔方程是
d2?2??2E??0,?x?0,x?a? (3.2) 2dx?U(x)U0Oax图3.1 一维方势垒
和
d2?2???E?U0???0,?0?x?a? (3.3) dx2?2同第二章一样我们分两种情况分别进行讨论.
3.2 E?U0情况
与(2.6)式一样我们定义k1和k2将方程(3.2)和(3.3)改写为
d2??k12??0,?x?0,x?a? (3.4) 2dx和
d2?2?k??0,?0?x?a? (3.5) 22dx此处k1,k2都是大于零的实数.
在x?0区域内,波函数
?1?Aeikx?A?e?ikx (3.6)
11是方程(3.4)的解.
在0?x?a区域内,方程(3.5)的解是
?2?Beikx?B?e?ikx, (3.7)
22在x?a区域内,方程(3.4)的解是
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?3?Ceikx?C?e?ikx (3.8)
11按照公式(1.5)
??x,t????x?e?iEt?
i?Et?定态波函数是?1,?2,?3再分别乘上一个含时间因子e. 由此看出(3.6)—(3.8)
三式右边第一项是由左向右传播的平面波,第二项是由右向左传播的平面波.在x?a区域内,没有由右向左运动的粒子,因而只应有向右传播的透射波,不应有向左传播的波,所以在(3.8)式中必须令
C??0 (3.9)
在x?0和x?a均可以用波函数和波函数导数的连续条件(1.8)和(1.9)来确定函数中的其它系数.由??1?x?0???2?x?0,我们有
A?A??B?B?
?d???d?2?由?1????有
dxdx??x?0??x?0由??2?x?a???3?x?a,有
k1A?k1A??k2B?k2B?
Beik2a?B?e?ik2a?Ceik1a
?d?3??d?2?由????有 ??dx?x?a?dx?x?0k2Beik2a?k2B?e?ik2a?k1Ceik1a
解这一组方程组,可以得出C,A?和A的关系是
C?A??4k1k2e?ik1a?k1?k2??k1?k2?2ee?ik2a22i?k12?k2?sinak22ik2a??k1?k2?e22ik2aA (3.10)
A (3.11)
??k1?k2?e?ik2a(3.10)和(3.11)两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系.由这两式可以求出透射系数为:
2JDC4k12k2 (3.12) D??2?222222JA?k1?k2?sinak2?4k1k22反射系数为:
R?JR?2??1?D (3.13)
222222JA?k1?k2?sinak2?4k1k213 A?2?k12?k22?sin2ak22晋中学院本科生毕业(设计)论文
由上两式可见,D和R都小于1, D和R之和等于1.这说明入射粒子一部分贯穿势垒
x?a区域,另一部分被势垒反射回去..特别要注意当ak2?n?,n?0,1,2,?时,反射为零,透射系数D?1,产生所谓共振透射.此时只有透射波而没有反射波.
从系数方程解得:
B??B??2k1(k1?k2)Ai2ak222e(k1?k2)?(k1?k2)i2ak22ek1(k1?k2)Aei2ak2(k1?k2)2?(k1?k2)2
令A?1,我们得到波函数的形式为:
222ik?ksinak2??12ik1x?1?e?e?ik1x (3.14) 2ik2a2?ik2a?k1?k2?e??k1?k2?e2k1(k1?k2)2ei2ak2k1(k1?k2)ik2x?ik2x (3.15) ?2??i2ak2e?ei2ak22222e(k1?k2)?(k1?k2)e(k1?k2)?(k1?k2)?3?4k1k2e?ik1a?k1?k2?2e?ik2a??k1?k2?eik2a2eik1x (3.16)
设k1?2,k2?1,势垒宽度a分别为1、2、3和?分别画出粒子分布的几率密度图
图3.2 取k1?2,k2?1,a?1时粒子几率密度分布. 图3.3 取k1?2,k2?1,a?2时的粒子几率密度分布.
图3.4 取k1?2,k2?1,a?3时的粒子几率密度分布. 图3.5 取k1?2,k2?1,a??时的粒子几率密度分布.
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3.2、图3.3、图3.4和图3.5.其中图3.5对应共振散射的情形.
如果我取a?1.5、k1?2而分别令k2为1和0.1我们得到图3.6、图3.7.从两图中
图3.6取k1?2,k2?1,a?1.5时的粒子几率密度分布.
图3..7取k1?2,k2?0.1,a?1.5时的粒子几率密度分布.
可以看出当,当k2减小,对应势垒增高.相应的粒子穿过势垒的几率变小,反射几率增大,反射波的强度与入射波的强度接近.所以在x?0的区域内入射波与反射波干涉相消使得一些点波函数的密谋接近零.
3.3 E?U0情况
这时k2是虚数,令
k2?i?2
则?2是实数:
?2???2??U0?E??? (3.17) 2???12把k2换成i?2,前面的计算仍然成立. 经过简单计算后(3.10)式可改写为
C?透射系数D的公式可改写为
2ik1?2e?ik1a?k21??222?sh?2a?2ik1?2ch?2aA (3.18)
D?24k12?2?k21??222?sh?2a?4k?22122 (3.19)
在(3.14)、(3.15)和(3.16)式样中分别令a?0.5,k1?2,?2?0.2和a?2,k1?2,?2?1可画出在E?U0时粒子分布的几率图3.8和图3.9.由图可以看出当势垒变高变宽透射过势垒粒子的几率迅速减小.从而同样使反射的几率增加.与E?U0的情况类似,这时反射波的强度和入射波的强度接近从而使在x?0的区域中入射波和反射波的干涉出现
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