晋中学院本科生毕业(设计)论文
引 言 引言、每章题目、总结格式上面输入一空行,居一维势垒散射问题属于量子力学非束缚定态的基本问题,:几乎所有的量子力学著中、三号黑体加粗,单倍[1-5]作中均作为主要内容加以阐述. 对该问题深入讨论可以初步掌握经典力学与量子行距与段后空0.5行.级别为标题1 力学所给出的粒子的穿越势垒的不同行为的基本特征首行缩进两字符,小四号宋体.对只有单行公式.但是大部分都是着重描述粒子在势垒存在时的穿过势垒的透射系数或被势垒反射回来的反射系数,而对于势垒存在或无公式的段落如??eikx,行距一般采用固定时微观粒子的几率分布的情况却描述较少,值22磅,此值为了页面美观可适当调整. 由其对于势垒中粒子的几率分布情况更是很少涉及.并且一些书中[1-2]给出粒子穿越势垒时的波动图像存在问题(如图0.1).因为对于引文文献号用上标非束缚定态问题粒子的波函数是复函数,一般情况下很难在二维图像中表示.如果说这加方括号标出 图0.1 粒子穿越势垒时的波动图像 里给出的是粒子的几率分布图像,那么由于穿过势垒后波函数一般形式是??eikx,所以几率分布?显然应该是一常数,并不存在任何的波动.为了能够对粒子在穿越势垒论文中的插图,除示意图可用Word软件时的几率分布有一个清晰的认识,我们分别对粒子穿越阶梯形势垒和方形势垒的不同中的绘图工具绘制外,函数图应用专门绘图软件绘制.所有插图要按章统一编情况下的几率分布通过计算机数值计算给出了相应的几率密度图像. 引言一般包括课题问题的提出、前号,并与文中对应.每幅图要有简要说明,人在该问题有关领域已经做过的工作本文讨论的阶梯势垒与方形势垒由于模型简单,数学计算相对容易而使得物理说明文字用五号字,行距采用最小值0和成果的概述、本课题的内容和采用的磅. 数字用Times New Roman字体、文图像清晰,对于深入理解粒子穿越势垒时的物理图像有一深刻正确的了解可以起到方法、本论文的结构说明等。 字用宋体,位于插图下方中央.图的大小一定的作用. 要适中,当图较小时一般置于版面右侧.注意与左侧空出0.5厘米. 插图中所插字符应用公式编辑器编好后,转成图片格式,其字符大小为10.5磅.在解释文字2中所用的数学字符也要用公式编辑插入,字号大小为10.5磅. 每章后另起一页,用插入分页符的方法 正文从引言开始起编页码,统一采用单面打印,页码右对齐. 1 晋中学院本科生毕业(设计)论文 数字与标题间空一格, 数字用Times New Roman字体,文字用黑体加粗,字号均为三号.居中. 1 势垒模型与量子力学方程 1.1 势垒模型
1.1.1 势垒模型 1.1.1.1 势垒模型 如果空间中有两个区域, 并且在这两个区域内粒子的势能都比它在这两个区域的二级标题级别为标题2,格式左对齐首行缩进2分界面上的势能小, 我们就说, 这两个区域是由一个势垒分隔开的. 字符(或1.7字符,与正文首行对齐即可, 数字用Times U(x)图1.1所示的一维势垒可以作为一New Roman字体,文字用黑体加粗,字号均为四号,数E?Um维势垒最简单的例子. 纵轴上标出势能字与文字空一格.单倍行距.如在章标题下或位于本E?Um,段前空0,段后空0.5它是粒子的坐标的函数. 在U(x), 页第一行x0行,如在文中位置时x行采用段前空1行,段后空0.5行. E?Um点上势能具有极大值U0. 整个空间三级标题级别为标题3,格式左对齐首行缩进2, 数字用Times New Roman:字体,文字用宋体加 ???x字符??在这一点上分为两个区域x粗,字号均为小四号,数字与文字空一格.单倍行距.如x2x1Ox?x0和x?x0, 在这两个区域内U?Um. x0在章标题下或位于本页第一行,段前空0行,段后空如果我们根据经典力学来考察粒子在场0.5行,如在文中位置时采用段前空1行,段后空0.5图行1.1 . 一维势垒 四级标题级别为标题4,格式左对齐首行缩进2E等于 中的运动, 我们马上可以说明“势垒”的意义. 粒子的总能量字符, 数字用Times New Roman字体,文字用宋体加p2 . 如 (1.1) E??U(x) .单倍行距粗,字号均为小四号,数字与文字空一格2?在章标题下或位于本页第一行,段前空0行,段后空式中p为粒子的动量, ?为它的质量. 从(1.1). 我们得到 0.5行,如在文中位置时采用段前空1行解出动量,段后空0.5行.一般不要用四级 p(x)??2?[E?U(x)] (1.2)
上式中的符号?应该根据粒子的运动方向来选择. 如果粒子的能量E大于势垒Um的“高度”, 则当粒子的初始动量p?0时, 粒子可以毫无阻碍地从左边向右边通过势垒; 而当粒子的初始动量p?0时,粒子通过势垒的方向正好相反.
假设粒子是从左向右运动的, 其总能量E小于Um. 于是在某一点x1, 势能
U(x1)?E,P(x1)?0, 粒子将停止下来. 它的全部动能转化为势能, 因而运动将向相反的方向进行:x1是反转点. 因此, 当E?Um时,从左边来的粒子不能穿过势能极大值的区域(x?x0), 因而便不能进入第二个区域x?x0去. 相似地, 如果粒子是从右向左运动的,而且E?Um, 则它便不能进入第二个反转点x2后面的区域去, 因为在x2点上U(x2)?E (参阅图1.1). 因此对于所有能量小于Um的粒子来说,势垒都是一个“不透明”的壁垒. 相反地, 对于能量大于Um的粒子, 势垒则是“透明”的. 这也就说明了“势垒”这个名称的来源.
2 晋中学院本科生毕业(设计)论文 为了进一步理解势垒这个概念, 我们想象一个质量为?, 在图1.2所表示的那种力函数作用下的粒子. 为了页面统一,所有正文内容(U文字图表均就在此线?0, x??(l??), (x)?0, ?x框内,最上(下)面的线及左右线与页面标志对齐.注?(x??)?x??l?? 意要使内容与横线的内侧线对齐,如果首行为多行公式,应在公式前插入一空行,此空行的行距为固定U?UUmU?m(x?l??), ?,要行 值5磅.当下端内容与下面的内侧线有空白时2??x2?当调整本面中的行距使之对齐.(另起一页时除外) ?l???x, U?Um, ?U?U?0, ?xU(x)在横坐标为?l??和?(x??)的两个点之间, 粒子受到一个力F的作用, 此力的指向与Ox轴的单位矢量ex相反 UF??mex 2?在这个区域之外, 势能U(x)?Um或U(x)?0为一常数, 而力等于零. Um?(l??)?l?l??xOex图1.2 一维势垒粒子受力分析 在t0时刻,以速度v0, 在横论文中的公式统一用Word软件中的公式编辑器书写.主坐标为?(x??)的点处接近这一区域的粒子由于F的作用而减速,由此得运动方程 要公式要按章统一进行编号并与论文中的叙述一致,编号Um2x??t?t0?.?v0?t?t0??(l??), 数字用Times New Roman字体,?右对齐未编号的公式要居4??中.如单行公式行距采用固定值22磅,多行公式行距采用只有当方程 磅. 最小值0U2?l????m?t?t0??v0?t?t0??(l??), 4??具有实根时,粒子才能到达横坐标为(?l??)的点, 这就要求 12?v0?Um, 2如果不是这样, 粒子的能量E小于Um 二级标题级别为标题2,格式左对齐首行缩进212E??v0?Um ), 数字用 (1.3) 字符(或1.8字符,与正方首行对齐即可2Times New Roman字体,文字用黑体加粗,字号均这个粒子就不可能到达势能变化区的端点. 因而粒子要被反射回来, 并重新向反向运为四号,数字与文字空一格.单倍行距.如在章标动. 使趋于零,而保持值不变, 力就变的无限大, 作用区变得无限薄题下或位于本页第一行,段前空0行,段后空0.5. 方程(1.3)所表,如在文中位置时采用段前空1行,段后空0.5示的结果依旧成立, 行因为它与宽度无关. 行. 1.2量子力学方程与边界条件 如果我们谈的是微观粒子在微观场中的运动, 也就是在谈到不能略去量子效应的3 晋中学院本科生毕业(设计)论文
运动时. 在势垒附近发生的现象就完全不同了.在这种情况下, 与经典力学的结论相反, 能量E大于势垒高度Um的粒子有一部分为势垒反射,而能量小于Um的粒子也有一部分会穿过势垒.
在量子力学里, 必须知道波函数?, 因此必须要解薛定谔方程
???2?2?i????U(x)? (1.4) 2?t2??x一维散射问题是一个非束缚态问题(U(x)与时间无关, 而E是正的).因此令
E?it??(x,t)??(x)e由此得到
(1.5)
?2d2???U(x)??E? (1.6) 2?dx2按照势能U(x)的形式, 方程(1.6)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式
d2?2?k??0 (1.7) 2dx2?2?k12?2E,k2?k12n2(x)?2[E?U(x)] (1.8)
??为了确定波函数要满足的边界条件, 我们把U(x)和n(x)看作是x的缓变函数, 在图1.2中为方便取l?0, 于是,在x?0点附近对方程(1.7)求积分, 我们得到
????d2?dx??k2?dx?0 2?dx????即
??d2?dx?k12?n2(x)?dx?0 2?dx????????由此得
??(??)???(??)?k当取极限??0时, 我们得到一个边界条件
21??2n?(x)?dx (1.9)
??(?0)???(?0) (1.10)
其次, 根据波函数的连续性的普遍要求,我们有第二个边界条件:
?(?0)??(?0) (1.11)
因为在x?0点并没有任何特殊之处, 所以条件(1.10)和(1.11)在任一点都能得到满足. 实际上上述边界条件在任何势能函数跃变的地方均可以满足.
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2 阶梯势垒散射
2.1 模型与方程
本章中,我们将讨论体系势能在无限远处为有限的情况,这时粒子可以在无限远处出现,波函数在无限远处不为零,由于没有无限远处波函数为零的约束,体系能量可以取任意值,即能级组成连续谱.这类问题属于粒子被势函数散射的问题,粒子从无限远处来,被势场散射后又到无限远处去.在这类问题中,粒子的能量是预先给定的.
考虑在一维空间中运动的粒子,它的势能在有限区域?0?x???内等于常量
U0?U0?0?,而在???x?0区域内等于零,即
U?x??U0,0?x??U?x??0,???x?0 (2.1)
我们称这种势为阶梯势垒?图2.1?. 具有一定能量E的粒子由势垒左方?x?0?向右方运动.
在经典力学中,只有能量E大于U0的粒子才能越过势垒运动到x?0的区域;能量E小于U0的粒子运动到势垒左方边缘(x?0处)时被反射回去,不能透过势垒.
在量子力学中,情况却不是这样.能量E大于U0的粒子有可能越过势垒,但也有可能被反射回来;而能量E小于U0的粒子有可能被势垒反射回来,但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x?0的区域中去.
OU(x)U0x粒子的波函数?所满足的定态薛定谔方程是
?2d2???E?,?x?0? (2.2) 2?dx2和
?2d2???U0??E?,2?dx2图2.1 一维阶梯势垒
?x?0? (2.3)
或改写成
d2?2??2E??0,dx2??x?0? (2.4)
和
d2?2??2?E?U0???0,dx2??x?0? (2.5)
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