[学生用书P393(单独成册)]
[基础题组练]
1．设i为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝( ) A．2i C．2
B．－2i D．－2
解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i＋i＋i2＝－1－1＝－2.故选D.
2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选C.由题意，得z＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.
a3．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝( )
1＋iA．－2 C．1
B．－1 D．2
a（1－i）aaaa
解析：选A.因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋
2221＋i（1＋i）（1－i）a
1＝0且－≠0，解得a＝－2.故选A.
2
4．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为( ) A．1 C．i
B．－1 D．－i
2（1－i）2
解析：选B.法一：因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝＝1－i，则复数z
1＋i（1＋i）（1－i）的虚部为－1.故选B.
??a－b＝2，
法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，?解得a
??a＋b＝0，
＝1，b＝－1，所以复数z的虚部为－1.故选B.
z
5．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数z＝( )
1－iA．1＋i
B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选B.由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选B. 2
1＋?＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( ) 6．已知??i?A．－7 C．－4
2
2
B．7 D．4
244
1＋?＝1＋＋2＝－3－4i， 解析：选A.因为??i?ii所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4， 所以a＋b＝－7，故选A.
（2＋i）（3－4i）
7．已知i为虚数单位，则＝( )
2－iA．5 712C．－－i
55
B．5i 712D．－＋i
55
（2＋i）（3－4i）10－5i
解析：选A.法一：＝＝5，故选A.
2－i2－i
（2＋i）（3－4i）（2＋i）2（3－4i）（3＋4i）（3－4i）
法二：＝＝＝5，故选A.
52－i（2＋i）（2－i）8．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) A．1 C.2
B．2 D．3
2i（1－i）2i
解析：选C.因为z＝＝＝1＋i，所以|z|＝2.故选C.
1＋i（1＋i）（1－i）9．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋3i，z·z＝4，则a＝( ) A．1或－1 C．－3
B．7或－7 D．3
解析：选A.法一：由题意可知z＝a－3i，所以z·z＝(a＋3i)(a－3i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·z＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1. 2
10．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝( )
z
A．1＋3i C．－1＋3i
B．1－3i D．－1－3i
2（1－i）22
解析：选C.因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝z1＋i（1＋i）（1－i）2（1－i）2（1－i）22－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C. ＝＝＝1－i，则z
2z1－i2
11．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( ) A．－4 C．4
4
B．－ 54D．
542＋32＝5，所以
5（3＋4i）3＋4i35
z＝＝＝＝＋
553－4i（3－4i）（3＋4i）
解析：选D.因为|4＋3i|＝44
i，所以z的虚部为. 55
z1
12．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝( )
z2A．1＋i 4
C．1＋i
5
34B．＋i 554
D．1＋i 3
解析：选B.因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2
2
z12＋i（2＋i）34
－i，所以＝＝＝＋i，故选B.
z22－i555
13．设复数z满足z＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________． 解析：复数z满足z＝|1－i|＋i＝2＋i，则复数z＝2－i. 答案：2－i
114．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．
1＋i
1－i1－i111
解析：因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝
2221＋i（1＋i）（1－i）2
. 2
答案：
2 2
?1?＋?1?＝?2??2?224＋2i
15．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，
（1＋i）2
则m＝________．
4＋2i（4＋2i）i
解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为
2i2i2（1＋i）2
4＋2i
(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
4i
16．当复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，＝________．
z解析：|z|＝＝
（m＋3）2＋（m－1）2
2（m＋1）2＋8，
2m2＋4m＋10＝
所以当m＝－1时，|z|min＝22， 4i（2＋2i）4i4i
所以＝＝＝－1＋i.
z2－2i8答案：－1＋i
[综合题组练]
1．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩?RB为( )
A．? B．{0} C．{x|－2
D．{x|－2
?a2＋a<2，?解析：选D.由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci??解得
??b＝c＝0，??－2
因此A＝{x|－2
?b＝c＝0，?
－2
y
2．若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为3，则的最大值是( )
xA.3 2
B．
3 3
1C. 2
D．3
解析：选D.
因为(x－2)＋yi是虚数， 所以y≠0，
又因为|(x－2)＋yi|＝3， 所以(x－2)2＋y2＝3.
y
因为是复数x＋yi对应点与原点连线的斜率，
xy?所以??x?＝tan∠AOB＝3，
max
y
所以的最大值为3. x
3．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________． 解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0， 即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，
??10－3p＋q＝0，所以?所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.
??－24＋2p＝0.
答案：38
i＋i2＋i3＋…＋i2 018
4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．
1＋i解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2， i＋i2＋i3＋…＋i2 018i＋i2－1＋i
所以z＝＝＝
1＋i1＋i1＋i（－1＋i）（1－i）2i
＝＝＝i，对应的点为(0，1)．
2（1＋i）（1－i）答案：(0，1)
第1讲 高效演练分层突破12 第十二章 复数、算法、推理与证明
