小于1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形，（如图）它们边长等于1，
∵5个点放入4个三角形，
∴至少有2个点放在同一个三角形内，
而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。
练习八
1、初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有_____人来自同一个乡镇。 2、任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有_____个是相同的。
3、在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少有_____个.
4、暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双），那么至少要取几只？若要确保10双呢？
5、袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那么最少要取几个？
6、任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？
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7、右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。
8、任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
9、90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？
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10、11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。 （最大公约数是1的两个正整数叫互质数）
11、任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？
第九讲
一元一次方程解的讨论
一、内容提要
1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程2x＋6＝0，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。
2、关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=
b； a当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3、求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。
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综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 二、例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=
4 a4,∴只要a与4同号， a即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。 例2 k取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？ ②（1－x）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k－6， 当k≠0时x=
k?66=1－， kk只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数
当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 已知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b ∵方程无解，∴a－b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知 当 ??3a?2b?8?0时，原方程有无数多解。
?2a?3b?7?0?a?2 b?1?解这个方程组得? 答：当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
练习九
1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
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①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2、关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________
3、在方程a(a－3)x=a中，当a取值为________时，有唯一的解；当a________时无解；当a________时,有无数多解；当a________时,解是负数。 4、k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x=
462k?33k?2 ②x= ③x= ④x= kk?1kk?1
5、k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6、m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
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