小于1,试说明理由。 解:取等边三角形各边中点,并连成四个小三角形,(如图)它们边长等于1,
∵5个点放入4个三角形,
∴至少有2个点放在同一个三角形内,
而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。
练习八
1、初一年新生从全县17个乡镇招收50名,则至少有_____人来自同一个乡镇。 2、任取30个正整数分别除以7,那么它们的余数至少有_____个是相同的。
3、在2003m中,指数m任意取10个正整数,那么这10个幂的个位数中相同的至少有_____个.
4、暗室里放有四种不同规格的祙子各30只,为确保取出的祙子至少有1双(2只同规格为1双),那么至少要取几只?若要确保10双呢?
5、袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个,请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个?
6、任意取11个正整数,至少有两个它们的差能被10整除,这是为什么?
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7、右图有3行9列的方格,若用红、蓝两种颜色涂上,则至少有2列的涂色方式是一样的,试说明这是为什么。
8、任意取3个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。
9、90粒糖果分给13个小孩,每人至少分1粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是为什么?
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10、11个互不相同的正整数,它们都小于20,那么一定有两个是互质数。 (最大公约数是1的两个正整数叫互质数)
11、任意6个人中,或者有3个人他们之间都互相认识,或者有3个人他们之间都互不相识,两者必居其一,这是为什么?
第九讲
一元一次方程解的讨论
一、内容提要
1、方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如:方程2x+6=0,x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解分别是x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。
2、关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后, 讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解 x=
b; a当a=0且b≠0时,无解;
当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立) 3、求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a|b时,方程有整数解;
当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解; 当a、b同号时,方程的解是正数。
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综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b 二、例题
例1 a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解?
解:①当a≠0且a≠2 时,方程有唯一的解,x=②当a=0时,原方程就是0x= -8,无解; ③当a=2时,原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时,方程的解是x=
4 a4,∴只要a与4同号, a即当a>0且a≠2时,方程的解是正数。 例2 k取什么整数值时,方程
①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数? ②(1-x)k=6的解是负整数? 解:①化为最简方程(k+2)x=4
当k+2能整除4,即k+2=±1,±2,±4时,方程的解是整数 ∴k=-1,-3,0,-4,2,-6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k-6, 当k≠0时x=
k?66=1-, kk只要k能整除6, 即 k=±1,±2,±3,±6时,x就是整数
当 k=1,2,3时,方程的解是负整数-5,-2,-1。
例3 已知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。问a和b应满足什么关系? 解:原方程化为最简方程: (a-b)x=b ∵方程无解,∴a-b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解? 解:原方程化为最简方程:(3a+2b-8)x=2a+3b-7, 根据 0x=0时,方程有无数多解,可知 当 ??3a?2b?8?0时,原方程有无数多解。
?2a?3b?7?0?a?2 b?1?解这个方程组得? 答:当a=2且b=1时,原方程有无数多解。
练习九
1、根据方程的解的定义,写出下列方程的解:
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①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9, ④|x|=-3, ⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x
2、关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________
3、在方程a(a-3)x=a中,当a取值为________时,有唯一的解;当a________时无解;当a________时,有无数多解;当a________时,解是负数。 4、k取什么整数值时,下列等式中的x是整数?
① x=
462k?33k?2 ②x= ③x= ④x= kk?1kk?1
5、k取什么值时,方程x-k=6x的解是 ①正数? ②是非负数?
6、m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解 ①是零? ②是正数?
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