[学生用书P108(单独成册)])
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐→→→→
标原点，若OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是( )
A．(1，－2) C．(5，0)
B．(7，6) D．(11，8)
→→
解析：选D．因为OA＝(4，2)，OB＝(3，4)， →→
所以2OA＋OB＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( ) 11A．－
229C．－
2
11B． 229D．
2
1
???λ＝－2，?4λ＝－2，
?解析：选C．由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得? ?xλ＝7，??
?x＝－14，
29
所以λ＋x＝－，故选C．
2
1→→→
3．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则AB等于( )
2A．(0，5) C．(2，5)
B．(0，1) D．(2，1)
1→1→→11
解析：选D．AB＝(MB－MA)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
2222
→→
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( )
72，? A．??2?C．(3，2)
1
2，－? B．?2??D．(1，3)
??2m＝4，
解析：选A．设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故?
?2n－4＝3，?
m＝2，??
解得?7
??n＝2，
7
2，?， 即点D的坐标为??2?
故选A．
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设→→→
OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为( )
1A．
52C．
5
1B．
32D．
3
解析： 选C．如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)， →
则OC＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
→→
所以λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，
??x＝－3λ2所以??λ＝. 5?－x＝2－2λ?
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________． 解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|， 所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)． 答案：(－1，1)
7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1
＋λ2e2的形式为__________．
解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)， 则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3) ＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
??－1＝λ1－2λ2，
所以?解得
?2＝2λ1＋3λ2，?
?
?4?λ＝7.
2
1λ1＝，
7
14
所以a＝e1＋e2.
7714
答案：a＝e1＋e2
77
→
8．已知向量AB＝(3，4)，将其向左平移一个单位，再向上平移一个单位后，所得向量
的坐标为________．
解析：因为向量的平移不改变向量的大小，故向量的坐标不发生变化． 答案：(3，4)
9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1，3)，c＝(6，5)，p＝a＋2b－c. (1)求p的坐标；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解：(1)p＝(2，－4)＋2(－1，3)－(6，5)＝(－6，－3)． (2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3) ＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
??2λ－μ＝－6，所以?
?－4λ＋3μ＝－3，?
21??λ＝－2，21所以?所以p＝－a－15b.
2
?μ＝－15，?
10．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：如图，(1)当平行四边形为ABCD1时，设顶点D1的坐标为(x1，y1)，
→
因为AB＝(－1－(－2)，3－1)＝(1，2)， →
D1C＝(3－x1，4－y1)，
→→
所以由AB＝D1C，得(1，2)＝(3－x1，4－y1)，
?1＝3－x1，?x1＝2，??即?所以? ??2＝4－y.y＝2.??11
所以顶点D1的坐标为(2，2)．
(2)当平行四边形为ACD2B时，设顶点D2的坐标为(x2，y2)， →→
因为AC＝(5，3)，BD2＝(x2＋1，y2－3)， →→
由AC＝BD2，得(5，3)＝(x2＋1，y2－3)，
???5＝x2＋1，?x2＝4，?所以所以? ?3＝y2－3.?y2＝6.??
所以顶点D2的坐标为(4，6)．
(3)当平行四边形为D3ACB时，设顶点D3的坐标为(x3，y3)， →→
因为AC＝(5，3)，D3B＝(－1－x3，3－y3)， →→
由AC＝D3B，得(5，3)＝(－1－x3，3－y3)，
??5＝－1－x3，所以?
?3＝3－y.?3??x3＝－6，所以?
??y3＝0.
所以顶点D3的坐标为(－6，0)．
综上，D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
[B 能力提升]
1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m且a＋b＝a
b，那么向量b等于( )
4
－2，－? B．?5??4－2，? D．?5??
b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，
4
2，? A．??5?42，－? C．?5??
解析：选A．设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a
44
2，?. 所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝??5?5
λ
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
μ
解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，
则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)． 由c＝λa＋μb，
即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 1
故λ＝－2，μ＝－，
2λ
则＝4. μ
答案：4
→→
3．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标；
→→
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求y与λ的值 解：(1)设B(x1，y1)．
→
因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)， 所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
?x1＋1＝4，?x1＝3，???所以解得? ???y1＋2＝3，?y1＝1.
所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 3－41－31则x2＝＝－，y2＝＝－1，
2221
－，－1?. 所以M??2?
→
(2)因为PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， →
BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)， →→
PB＝λBD，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)， 1λ＝－，?7?1＝－7λ，
所以?解得
3?1－y＝－4λ，?
y＝.7
???
4．(选做题)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)． →→→→
(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；
→→→
(2)若OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n. 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， →→→
因为PA＋PB＋PC＝0，
→→→
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
??6－3x＝0，所以?
?6－3y＝0，???x＝2，解得?
??y＝2.
所以点P的坐标为(2，2)，
苏教版数学必修四同步练习：2.3 2.3.2 第1课时 平面向量的坐标运算 巩固提升
