[学生用书P108(单独成册)])
[A 基础达标]
1.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐→→→→
标原点,若OA=4i+2j,OB=3i+4j,则2OA+OB的坐标是( )
A.(1,-2) C.(5,0)
B.(7,6) D.(11,8)
→→
解析:选D.因为OA=(4,2),OB=(3,4), →→
所以2OA+OB=(8,4)+(3,4)=(11,8).
2.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值为( ) 11A.-
229C.-
2
11B. 229D.
2
1
???λ=-2,?4λ=-2,
?解析:选C.由已知,可得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x),所以解得? ?xλ=7,??
?x=-14,
29
所以λ+x=-,故选C.
2
1→→→
3.已知MA=(-2,4),MB=(2,6),则AB等于( )
2A.(0,5) C.(2,5)
B.(0,1) D.(2,1)
1→1→→11
解析:选D.AB=(MB-MA)=(2,6)-(-2,4)=(2,1).
2222
→→
4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为( )
72,? A.??2?C.(3,2)
1
2,-? B.?2??D.(1,3)
??2m=4,
解析:选A.设点D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),故?
?2n-4=3,?
m=2,??
解得?7
??n=2,
7
2,?, 即点D的坐标为??2?
故选A.
5.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°,设→→→
OC=λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则λ的值为( )
1A.
52C.
5
1B.
32D.
3
解析: 选C.如图所示,因为∠AOC=45°,
所以设C(x,-x), →
则OC=(x,-x).
又因为A(-3,0),B(0,2),
→→
所以λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ),
??x=-3λ2所以??λ=. 5?-x=2-2λ?
6.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为________. 解析:因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|, 所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1). 答案:(-1,1)
7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为λ1e1
+λ2e2的形式为__________.
解析:设a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R), 则(-1,2)=λ1(1,2)+λ2(-2,3) =(λ1-2λ2,2λ1+3λ2),
??-1=λ1-2λ2,
所以?解得
?2=2λ1+3λ2,?
?
?4?λ=7.
2
1λ1=,
7
14
所以a=e1+e2.
7714
答案:a=e1+e2
77
→
8.已知向量AB=(3,4),将其向左平移一个单位,再向上平移一个单位后,所得向量
的坐标为________.
解析:因为向量的平移不改变向量的大小,故向量的坐标不发生变化. 答案:(3,4)
9.已知a=(2,-4),b=(-1,3),c=(6,5),p=a+2b-c. (1)求p的坐标;
(2)若以a,b为基底,求p的表达式.
解:(1)p=(2,-4)+2(-1,3)-(6,5)=(-6,-3). (2)设p=λa+μb(λ,μ∈R), 则(-6,-3)=λ(2,-4)+μ(-1,3) =(2λ-μ,-4λ+3μ),
??2λ-μ=-6,所以?
?-4λ+3μ=-3,?
21??λ=-2,21所以?所以p=-a-15b.
2
?μ=-15,?
10.已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.
解:如图,(1)当平行四边形为ABCD1时,设顶点D1的坐标为(x1,y1),
→
因为AB=(-1-(-2),3-1)=(1,2), →
D1C=(3-x1,4-y1),
→→
所以由AB=D1C,得(1,2)=(3-x1,4-y1),
?1=3-x1,?x1=2,??即?所以? ??2=4-y.y=2.??11
所以顶点D1的坐标为(2,2).
(2)当平行四边形为ACD2B时,设顶点D2的坐标为(x2,y2), →→
因为AC=(5,3),BD2=(x2+1,y2-3), →→
由AC=BD2,得(5,3)=(x2+1,y2-3),
???5=x2+1,?x2=4,?所以所以? ?3=y2-3.?y2=6.??
所以顶点D2的坐标为(4,6).
(3)当平行四边形为D3ACB时,设顶点D3的坐标为(x3,y3), →→
因为AC=(5,3),D3B=(-1-x3,3-y3), →→
由AC=D3B,得(5,3)=(-1-x3,3-y3),
??5=-1-x3,所以?
?3=3-y.?3??x3=-6,所以?
??y3=0.
所以顶点D3的坐标为(-6,0).
综上,D点坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0).
[B 能力提升]
1.对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义m且a+b=a
b,那么向量b等于( )
4
-2,-? B.?5??4-2,? D.?5??
b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),
4
2,? A.??5?42,-? C.?5??
解析:选A.设b=(x,y),由新定义及a+b=a
44
2,?. 所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=,所以向量b=??5?5
λ
2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.
μ
解析:以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1,
则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3). 由c=λa+μb,
即(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2), 得-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3, 1
故λ=-2,μ=-,
2λ
则=4. μ
答案:4
→→
3.已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2). (1)求线段BD的中点M的坐标;
→→
(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R),求y与λ的值 解:(1)设B(x1,y1).
→
因为AB=(4,3),A(-1,-2), 所以(x1+1,y1+2)=(4,3),
?x1+1=4,?x1=3,???所以解得? ???y1+2=3,?y1=1.
所以B(3,1).同理可得D(-4,-3). 设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2), 3-41-31则x2==-,y2==-1,
2221
-,-1?. 所以M??2?
→
(2)因为PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), →
BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4), →→
PB=λBD,所以(1,1-y)=λ(-7,-4), 1λ=-,?7?1=-7λ,
所以?解得
3?1-y=-4λ,?
y=.7
???
4.(选做题)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2). →→→→
(1)若PA+PB+PC=0,求OP的坐标;
→→→
(2)若OP=mAB+nAC(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,试求m-n. 解:(1)设点P的坐标为(x,y), →→→
因为PA+PB+PC=0,
→→→
又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
??6-3x=0,所以?
?6-3y=0,???x=2,解得?
??y=2.
所以点P的坐标为(2,2),