矩阵非奇异性的判定方法
栾 天，郭 丽
【摘 要】摘要：应用矩阵分析方法， 在矩阵分块的基础上，利用子矩阵的范数给出了判定矩阵非奇异性的充分条件， 方法应用简单，计算量较少. 【期刊名称】北华大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2013(014)001 【总页数】3
【关键词】非奇异矩阵；超平面；极点
1 引 言
判定矩阵的非奇异性通常采用定义法、初等变换方法[1-2]，也可以通过矩阵的三角分解[3]、估计矩阵特征值[4]或秩[5]等方法来实现.然而，随着矩阵阶数的增大，这些方法的计算量和计算复杂性都要随之增加，不再适于应用.本文给出一种适用于判定高阶矩阵非奇异性的方法.该方法可以直接利用矩阵元素，在矩阵分块基础上，通过计算子矩阵的范数实现矩阵非奇异性的判定，实际应用简单，计算量较少.
设矩阵A∈n×n有如下分块形式 (1)
其中：且Aii(i=1，2，…，m)皆非奇异.定义分块矩阵的行和与列和如下 Aij， Aji，
这里·为某一导出矩阵范数[6-7].
记Sp(p∈+)为含有p个元素的集合.定义局部最大行和 Aij，
其中Nm={1，2，…，m}. 记集合}.空间
Q(m-1)2={(a1，a2，…，a(m-1)2)∈(m-1)2aj∈[0，1]}.
2 矩阵非奇异的充分条件
当矩阵A奇异时，存在非零向量X=(X1，X2，…，Xm)T∈n，满足AX=0，其中向量X分块形如式(1).若记Xk≥XlXj，定义空间 Akj1· Alj2yj1 j2)}， Akj1· Alj2yj1 j2)}，
S(k，l)={Y=(yj1 j2)CkCl-1≥(1-Cj1Cj2)yj1 j2}， (k，l)={Y=(yj1 j2)CkCl-1lt;(1-Cj1Cj2)yj1 j2} .
利用奇异矩阵所满足的条件以及上述空间定义，我们有如下结论：
引理1[8] 设A=(aij)∈n×n分块形如式(1)，且Aii(i=1，2，…，m)皆非奇异.若
(S(k，l)∩S(k，l))∩Q(m-1)2=?， ?(k，l)∈ (2)
则A非奇异.
实际问题中条件(2)并不易于应用，于是我们利用该结论给出如下判定矩阵非奇异性的方法.
定理1 设A=(aij)∈n×n分块形如式(1)，Aii(i=1，2，…，m)皆非奇异.若存在r∈+，满足2+≤r≤m，使得如下条件成立： ?
?Sr?Ω， ?Sr? 则A非奇异.
证明： 对任意定义(m-1)2中的超平面[9] P(k，l)=Y=(yj1 j2)∈(m-1)2.
那么P将Q(m-1)2分成如下两个凸集 Y=(yj1 j2)∈Q(m-1)2， Y=(yj1 j2)∈Q(m-1)2. 记?满足 ).
对Ω(k，l)中任意(r-1)2个元素，形如(i，i)的元素至多有m-1个，由2+≤r≤m知[(r-1)2-(m-1)]/2≥r-1，那么Ω(k，l)中至少有2(r-1)个元素.所以对中每个极点[9]Y=(yj1j2)，由式(4)，(5)有
(1-Cj1Cj2)yj1j2≥(1-Cj1Cj2)gt;CkCl-1， 从而对中每个点上式成立，即?(k，l). 记?Ω(k，l)满足 Akj1· Alj2 Akj1· Alj2).
对中每个极点Y=(yj1j2)，由式(3)有 Akj1· Alj2).
于是对的每个极点有 Akj1· Alj2 Akj1· Alj2yj1j2).
矩阵非奇异性的判定方法
