函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立．
函数f(x)＝A．(－4，6) C．(－4，3) 【解析】 设g(x)＝－
x＋1x＋2x＋＋的图象的对称中心为( ) x＋1x＋2x＋3
B．(－2，3) D．(－2，6)
11111111－－，则g(－x)＝－－－＝＋＋x－1xx＋1－x－1－x－x＋1x－1x
1111
＝－g(x)，故g(x)为奇函数．易知f(x)＝3－?x＋1＋x＋2＋x＋3?＝g(x＋2)＋3，所以函数
??x＋1
f(x)的图象的对称中心为(－2，3)．故选B.
【答案】 B
此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．
结论三：
若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． [结论简证]
当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)． 综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
(1)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－
________；
(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则f(x－2)>0的条件为________．
【解析】 (1)易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－
1
，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得1＋x2
1
，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是1＋x2
1
(2)由f(x)＝x3－8(x≥0)，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.所以，由已知条件可知f(x－2)>0?f(|x－2|)>f(2)．所以|x－2|>2，解得x<0或x>4. 1? 【答案】 (1)??3，1? (2){x|x<0或x>4} [基础题组练] 1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)下列函数既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的 是( ) A．y＝－x2 C．y＝log2x B．y＝x3 D．y＝－3x － 解析：选B.A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件． B．函数y＝x3为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，满足条件． C．y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数，不满足条件． D．函数y＝－3x为非奇非偶函数，不满足条件． 2．(2020·衢州高三年级统一考试)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( ) A．－x3－ln(1－x) C．x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) － 解析：选C.当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，因为f(x)是R上的奇函数，所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，所以f(x)＝x3－ln(1－x)． 3．若f(x)＝(ex－ex)(ax2＋bx＋c)是偶函数，则一定有( ) A．b＝0 C．a＝0且c＝0 － － B．ac＝0 D．a＝0，c＝0且b≠0 － 解析：选C.设函数g(x)＝ex－ex.g(－x)＝ex－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为f(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函数．所以h(x)＝ax2＋bx＋c为奇函数．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.当a＝c＝b＝0时，f(x)＝0，也是偶函数，故选C. 4．设f(x)是定义在实数集上的函数，且f(2－x)＝f(x)，若当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( ) 1??1? A．f? 1??1? B．f? 1??3??1? 解析：选C.由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于x＝1对称，所以f??2?＝f?2?，f?3?＝5??3? 5．若函数f(x)＝ln(ax＋x2＋1)是奇函数，则a的值为( ) A．1 C．±1 B．－1 D．0 解析：选C.因为f(x)＝ln(ax＋x2＋1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋x2＋1)＋ln(ax＋x2＋1)＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1. 6．(2020·杭州四中第一次月考)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0， 3f（－x）－2f（x） 则不等式≤0的解集为( ) 5x A．(－∞，－2]∪(0，2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2，0)∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2] 解析：选D.因为函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，所以函数f(x)在(0，3f（－x）－2f（x） 2)上的函数值为正，在(2，＋∞)上的函数值为负，当x>0时，不等式≤0 5x等价于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函数，所以有f(x)≥0，所以有0 可解得－2≤x<0.综上，不等式≤0的解集为[－2，0)∪(0，2]，故选D. 5x 7．若f(x)＝k·2x＋2x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________． k1 解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0) 22k1 ＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)． 22 答案：1 －1 tx2＋2x＋t2＋2 018x5 8．若关于x的函数f(x)＝(t>0)的最大值为M，最小值为N，且M＋ x2＋tN＝4，则实数t的值为________． tx2＋2x＋t2＋2 018x52x＋2 018x5 解析：因为f(x)＝＝t＋＝t＋g(x)，其中g(x)是奇函数， x2＋tx2＋tM＋N＝t＋g(x)＋t＋g(－x)＝2t＝4?t＝2. 答案：2 9．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(1＋x)＝f(1－1? x)；②在[1，＋∞)上为增函数，若x∈??2，1?时，f(ax) 解析：根据题意，可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 因为其在[1，＋∞)上为增函数，则在(－∞，1)上是减函数， 并且自变量离1越近，则函数值越小， 由f(ax) 1? 因为x∈??2，1?，所以|x－2|＝2－x， 所以该不等式可以化为x－2 ??（a－1）x>－11? ，1上恒成立， 即不等式组?在x∈?2???（a＋1）x<3? － ??（a－1）×1>－1从而有?，解得0 （a＋1）×<3 2 ??（a＋1）×1<3 答案：(0，2) 10．(2020·温州调研)已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x －1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1∈(0，3]，又f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(0)＝0，当x∈[－2，0)时，f(x)∈[－3，0)，所以函数f(x)的值域是[－3，3]．当x∈[－2，2]时，g(x)＝x2－2x＋m∈[m－1，m＋8]．由任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使得g(x2) ?m－1≤－3，? ＝f(x1)，可得[－3，3]?[m－1，m＋8]，所以??－5≤m≤－2. ?m＋8≥3? 1 （a－1）×>－1 2 答案：[－5，－2] 11．已知函数f(x)＝2x＋k·2x，k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f(x)>2x成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2x是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，k∈R， 即2x＋k·2x＝－(2x＋k·2x)， 所以(k＋1)·(1＋22x)＝0对一切k∈R恒成立， 所以k＝－1. (2)因为x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2x， 即2x＋k·2x>2x对x∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k<22x对x∈[0，＋∞)恒成立， 所以1－k<(22x)min， 因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增， 所以(22x)min＝1.所以1－k<1，解得k>0. 所以实数k的取值范围为(0，＋∞)． 12．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1，求满1 足f[f(a)]＝的实数a的个数． 2 11 解：令f(a)＝x，则f[f(a)]＝变形为f(x)＝； 22 － － － － －－ － － 1 当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1＝， 2解得x1＝1＋ 22，x2＝1－； 22 122因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)＝的解为x3＝－1－，x4＝－1＋； 222综上所述，f(a)＝1＋当a≥0时， f(a)＝－(a－1)2＋1＝1＋f(a)＝－(a－1)2＋1＝1－2 ，方程无解； 2 2 ，方程有2解； 2 2 ，方程有1解； 2 2 ，方程有1解； 2 2222，1－，－1－，－1＋； 2222 f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1－f(a)＝－(a－1)2＋1＝－1＋ 故当a≥0时，方程f(a)＝x有4解，由偶函数的性质，易得当a<0时，方程f(a)＝x也有4解， 1 综上所述，满足f[f(a)]＝的实数a的个数为8. 2 [综合题组练] 1．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为 ( ) 9A. 43C. 4 B．2 1D. 4 解析：选A.设x＞0，则－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x311 －2.所以在[1，3]上，当x＝时，f(x)max＝；当x＝3时，f(x)min＝－2.所以m≥且n≤－2. 2449 故m－n≥. 4 2．(2020·宁波效实中学高三月考)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( ) A．f(x)＝x C．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2 D．f(x)＝cos(x＋1) 解析：选D.由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)
2021届浙江新高考数学一轮复习：第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性
