2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：算法初步、统计与统计案例第4节变量间的相关关系、统计案例

第四节 变量间的相关关系、统计案例

[最新考纲] 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．

1．相关性 (1)线性相关

若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的． (2)非线性相关

若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的． (3)不相关

如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．最小二乘估计 (1)最小二乘法

如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]＋[y2－(a＋bx2)]＋…＋[yn－(a＋bxn)].

使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)线性回归方程

方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．

2

2

2

3．回归分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(x，y)称为样本点的中心．

(3)相关系数r

n?xiyi－nx yi＝1

①r＝

；

nn?x2

－nx2

i ?y2i－ny2

i＝1

i＝1

②当r>0时，称两个变量正相关． 当r<0时，称两个变量负相关． 当r＝0时，称两个变量线性不相关． 4．独立性检验 若一个2×2列联表为：

B A B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 则统计量χ2为： 2

χ2

＝nad－bca＋bc＋da＋cb＋d. (1)当χ2

≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2

>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； (3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； (4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． [常用结论]

1．线性回归方程y＝bx＋a一定过样本点的中心(x，y)． 2．由回归直线求出的数据是估算值，不是精确值．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系． ( )

(2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( )

(3)回归直线方程^y＝^bx＋^

a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．

(

)

(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ的观测值越小. [答案](1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编

1．下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为( )

2

( )

x1 x2 合计 A.94,72 C．52,74

y1 a 22 y2 21 25 46 合计 73 47 120 b B．52,50 D．74,52

C [∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]

2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )

^

A.y＝0.4x＋2.3 ^

C.y＝－2x＋9.5

^

B.y＝2x－2.4 ^

D.y＝－0.3x＋4.4

A [因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心(3,3.5) 在回归直线上，排除B，选项A满足．]

^

3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.95x^^

＋a，则a＝________.

x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 ^

2.6 [∵回归直线必过样本点的中心(x，y)，又x＝2，y＝4.5，代入回归方程，得a＝2.6.] 4．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：

男 女 2

2理科 13 7 文科 10 20 2

已知P(χ≥3.841)≈0.05，P(χ≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ的观测值为50×13×20－10×723×27×20×30

2

2

≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

5% [χ的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]

⊙考点1 变量间的相关关系的判断

判定两个变量正、负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关． ^^

(3)线性回归方程中：b>0时，正相关；b<0时，负相关． 1.观察下列各图形，

① ② ③ ④

其中两个变量x，y具有相关关系的图是( ) A．①② B．①④ C．③④ D．②③

C [图形③具有正线性相关关系，图形④具有非线性相关关系，故选C.]

2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( ) A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

^^^

C [因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b＞0，^^^^^

则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．]

3．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )

A．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r2＜r4＜0＜r3＜r1

B．r2＜r4＜0＜r1＜r3 D．r4＜r2＜0＜r3＜r1

C [根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集

中在一条直线附近，说明相关性越强，

由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；

故r1>0，r3>0；r2<0，r4＜0；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2

r2

(1)变量间的相关关系分线性相关关系和非线性相关关系，如T1. (2)对相关系数r来说，|r|越接近于1，散点图越接近于一条直线，如T3. ⊙考点2 线性回归分析

线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求回归方程

^

①利用公式，求出回归系数b.

^

②利用回归直线过样本点的中心求系数a.

(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值． ^

(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b.

(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． 下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．

注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：

7

7

参考数据：∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，

i＝1

i＝1

yi－y2

＝0.55，7≈2.646.