第3讲 函数的奇偶性、对称性
1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任偶函数 意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任奇函数 意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 2.函数奇偶性的几个重要结论 (1)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
3．函数的对称性
a＋b
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝对称，特别地，
2当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．
(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
关于原点对称 关于y轴对称 图象特点 (5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝x2sin x C．y＝|ln x|
B．y＝x2cos x D．y＝2x
－
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a 解析：法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知函数f(x)在[－b，－a]上的值域为[－4，3] 法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4， 所以－4≤f(x)≤3， 即在区间[－b，－a]上的值域为[－4，3]． 答案：[－4，3] 3．(必修1P45B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时， ?－4x2＋2，－1≤x<0，?3?f(x)＝?则f?＝________． 2???x，0≤x<1，? 3??1??1?1 2－＝f－＝－4×?－?＋2＝1. 解析：f?＝f?2??2??2??2?答案：1 [易错纠偏] (1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域； (2)忽视奇函数的对称性； (3)忽视定义域的对称性． 1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________． 2 解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由x2＋4x－3，x>0，?? 奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝?0，x＝0， ??－x2＋4x＋3，x<0. x2＋4x－3，x>0，?? 答案：?0，x＝0， ??－x2＋4x＋3，x<0 2.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 解析：由题图可知，当0 f(x)是奇函数，所以当－2 答案：(－2，0)∪(2，5] 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数， 所以a－1＋2a＝0， 1所以a＝. 3又f(－x)＝f(x)， 所以b＝0， 1 所以a＋b＝. 31答案： 3 判断函数的奇偶性 |x－4|－4 (1)函数y＝的奇偶性是( ) 9－x2 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 (2)(2024·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f(x)＝|e|x|－2e|＋e|x|，g(x)＝3sin 2x，下列描述正确的是( ) A．f(g(x))是奇函数 B．f(g(x))是偶函数 C．f(g(x))既是奇函数又是偶函数 D．f(g(x))既不是奇函数又不是偶函数 【解析】 (1)由9－x2>0可得－3 9－x29－x29－x2 |x＋4|－44＋x－4x f(－x)＝＝＝＝－f(x)， 9－x29－x29－x2|x－4|－4 所以函数y＝是奇函数，故选A. 9－x2 (2)由题意知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，故f(g(x))是偶函数． 【答案】 (1)A (2)B 判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． [提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性． 1．设f(x)＝ex＋ex，g(x)＝ex－ex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( ) A．|g(x)|是偶函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 － －－ B．f(x)g(x)是奇函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数 解析：选D.f(－x)＝ex＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数． g(－x)＝ex－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数． |g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)] ＝－f(x)g(x)， 所以f(x)g(x)为奇函数，B正确； f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|， 所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确； f(x)＋g(x)＝2ex， f(－x)＋g(－x)＝2ex≠－(f(x)＋g(x))， 且f(－x)＋g(－x)＝2ex≠f(x)＋g(x)， 所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D. 2．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3－2x＋2x－3； 4－x2 (2)f(x)＝； |x＋3|－3 2??x＋x，x＞0， (3)f(x)＝?2 ?x－x，x＜0.? －－ － ?3? 解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为?2?，不关于坐标原点对称， ?? 所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 2??4－x≥0 (2)由?， ?|x＋3|－3≠0? 得－2≤x≤2且x≠0， 所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称． 4－x24－x2 所以f(x)＝＝. x（x＋3）－3所以f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)是奇函数． (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2 ＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2－x， 则当x＞0时，－x＜0，
2024届浙江新高考数学一轮复习：第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性
