学案3 不等式与不等关系 - 图文

聊城一中2018级高三数学一轮复习学案3 班级： 姓名： 学号： 编制：高尚凯 审核：王成震 试做：程春红 学案3 不等式与不等关系

[课程标准]

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用. [知识梳理]

1．两个实数比较大小的方法

?a?b?0?a___b,(1)作差法??a?b?0?a___b,

??a?b?0?a___b;??ab?1?a___b(a?R,b?0),?(2)作商法??a?1?a___b(a?R,b?0),

?b??a?b?1?a___b(a?R,b?0);2．不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?__________； (3)可加性：a＞b?a＋c_____b＋c，

(4)同向可加性：a＞b，c＞d?a＋c_____b＋d； (5)可乘性：a＞b，c＞0?ac____bc；

(6)同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac____bd； (7)可乘方：a＞b＞0?an____bn(n∈N，n≥1)； (8)可开方：a＞b＞0?na____nb(n∈N，n≥2)．

(9)倒数法则：a＞b且ab＞0?11

a___b

3.有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则

①bba<＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)． ②aa＋maa－mb>b＋m；b0)． [思考辨析]

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a

b

>1，则a>b.( )

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )

) (5)a>b>0，c>d>0?ad>bc.( )

(6)若ab>0，则a>b?1a<1

b.( )

[典例精讲]

题型一 比较两个数(式)的大小

例1 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ) A．MN C．M＝N D．不确定 (2)若a＝ln 33，b＝ln 4ln 5

4，c＝5

，则( )

A．a

跟踪训练1(1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( ) A．A≤B B．A≥B C．AB (2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．

题型二 不等式的性质

例2 (1)已知a，b，c满足cac B．c(b－a)<0 C．cb20

(2)若1a<1

b<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a

命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a>b>0，给出下列四个不等式：

①a2>b2； ②2a>2b－

1； ③a－b>a－b； ④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 命题点2 求代数式的取值范围

例4 已知－1

)

1

聊城一中2018级高三数学一轮复习学案3 班级： 姓名： 学号： 编制：高尚凯 审核：王成震 试做：程春红 变式1：若将例4条件改为－1

[达标练习]

1.设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

cc

①>； ②acloga(b－c)． ab其中所有正确结论的序号是( )

A．① B．①② C．②③

D．①②③

5ππ5πA．(0，) B．(－，) C．(0，π)

6666．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( ) ab

A．若a>b，则ac2>bc2 B．若>，则a>b

cc

πD．(－，π)

6

1111

C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则<

abab7．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )

2a＋ba11bb＋111

A．a＋>b＋ B.> C．a－>b－ D.>

baaa＋1baa＋2bb8．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( )

a＋b11

A.< B．log2a>log2b C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b

①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；

abcd

②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；

abcd

③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.

ab其中正确的命题是________．

10．已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________． 11．设a>b>c>0，x＝a2＋?b＋c?2，y＝b2＋?c＋a?2，z＝c2＋?a＋b?2，则x，y，z的大小关系是

1

2.已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．

1－a

课时作业3

1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( ) A．ad>bc B．ac>bd C．a－c>b－d

D．a＋c>b＋d

________．(用“>”连接)

2

a

2．若6

2A．9≤c≤18 B．15y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )

A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| 4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ππβ

5．设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是( )

223

D．9

聊城一中2018级高三数学一轮复习学案3 班级： 姓名： 学号： 编制：高尚凯 审核：王成震 试做：程春红 学案3不等式与不等关系参考答案

判断正误：√×××√√ 例1：答案 (1)B (2)B

解析 (1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0.

∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M>N.

(2)方法一 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln 4

4ln 3＝log8164<1，

所以a>b；

b5ln 4c＝4ln 5

＝log6251 024>1， 所以b>c.即c

ln x

x，y′＝1－ln xx2

， 易知当x>e时，函数f(x)单调递减． 因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)， 即c

跟踪训练1答案 (1)B (2)a

(2)a1816b＝181618＝(16)161

162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵

9

82∈(0,1)，∴(982)16

<1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a

解析 (1)由c0.

由b>c得ab>ac一定成立． (2)因为1a<1

b<0，所以b0，

所以a＋b

解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2，①成立；

由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数， ∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－

1，②成立； ∵a>b>0，∴a>b， ∴(a－b)2－(a－b)2 ＝2ab－2b＝2b(a－b)>0， ∴a－b>a－b，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36， a3＋b3<2a2b，④不成立． 故选A.

方法二 令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 答案 (－4,2) (1,18)

例4.解析 ∵－1

变式1：解 ∵－1

变式2：解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，

m＝5则???m＋n＝3，2

，

??

m－n＝2，

∴?

??n＝122

x－y<3，

2.

即3x＋2y＝5(x＋y)＋1

(x－y)，又∵－1

2<2(x＋y)＋2(x－y)<2，即－2<3x＋2y<2，

3

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11

1.D.由不等式性质及a>b>1知<，

abcc

又c<0，∴>，①正确；

ab构造函数y＝xc，

∵c<0，∴y＝x在(0，＋∞)上是减函数， 又a>b>1，∴ab>1，c<0，∴a－c>b－c>1，

∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．

1a2a21

2.解 ∵－(1＋a)＝，当a＝0时，＝0，∴＝1＋a；

1－a1－a1－a1－a

a21a21

当a＜1，且a≠0时，＞0，∴＞1＋a；当a＞1时，＜0，∴＜1＋a.

1－a1－a1－a1－a

c

cc

cdbc－ad9.答案 ①②③解析 ∵ab>0，bc－ad>0，∴－＝>0，∴①正确；

ababbc－adcd

∵ab>0，又－>0，即>0，∴bc－ad>0，∴②正确；

abab

bc－adcd

∵bc－ad>0，又－>0，即>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．

abab10.解析 ∵a＝log23＋log23＝log233，b＝log29－log23＝log233，∴a＝b， 又a＝log233>1，c＝log32<1，∴a>c，故a＝b>c.

11.答案 z>y>x解析 方法一 y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x. 方法二 令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故z>y>x.

课时作业

1.答案 D 解析 由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.

3a3a

2.答案 D解析 ∵c＝a＋b≤3a且c＝a＋b≥， ∴9<≤a＋b≤3a<30.

223.答案 C解析 ∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0， 又y>z，∴xy>xz. 4.答案 A解析 由(a－b)·a2<0?a≠0且a

βππβπβ

5.答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.

3663636.答案 C解析 当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；

11

对于C，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，所以>成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．

ab1

7.答案 A解析 取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函

x11

数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b

xa111

－?a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A. bba

8.答案 C解析 ∵(a－1)2＋(b－1)2>0(由a>b>0，a，b不能同时为1)， ∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，∴C项一定不成立．

4