第十二章 小结与复习
【知识梳理】
式子 分数 分式 AB A、B是两个整数 A、B是两个整式，B含有字母，字母的取值应保证B≠0 AA?M＝ BB?MAA?M＝ BB?MA?CAC.＝ BDB?DM是不等于零的数，分数基本性质，分数通分 M是不等于零的整式，分式基本性质 M是不等于零的数，分数基本性质，分数约分 分数乘法法则 M是不等于零的整式，分式基本性质，分式约分 分式的乘法法则 CAADA?D÷＝.＝ 分数除法法则 DBCB?CBA?CAC±＝ BBB同分母分数加减法法则 分式除法法则 同分母分式加减法法则 CADBCA±＝±＝ 异分母分数加减法法则 DBDBDBAD?BC BD分式方程及应用知识结构图：
异分母分式加减法法则
总结与反思：
1.分式方程的意义. 2.分式方程的解法.3.列分式方程解决实际问题. 注意事项：
1.判断一个方程是不是分式方程，应看这个方程的分母中是否含有未知数，而不是含不含有宇母.如方程
x=1（a是常数，且a≠0，x是未知数)就不是分式方程. a1
2.解分式方程时，由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母(含未知数的整式)，得到了一个整式方程，从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了.因此，在解分式方程时必须验根.
3.利用分式方程解决实际问题时，要注意运用基本数量关系找出问题中的等量关系.如路程=速度×时间，工作量(一些问题中的总工作量常常看做1)=工作效率×工作时间等.用分式方程解决实际问题时，必须进行检验。这里的检验应包括两层含义，第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是否符合实际问题的题意. 【典型例题】 例1．(1)使分式
x有意义的x的取值范围是（ ） 2x?4 A. x?2 B.x?2 C.x??2 D.x??2
x2?9(2)当x为何值时，分式的值为零．
(x?2)(x?3)
例2. 约分
?16x2a2?4 (1)2； (2)．
20xya?4a?4例3 . 已知两个分式：A?411，，其中x??2，则A与B 的关系是（ ） B??x2?4x?22?xA.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B 例４．计算：?x?y???4xy??4xy?x?y????＝ ．
x?y??x?y?分析：这是道融加法、减法与乘法于一题的计算题，注意运算顺序和各种运算的法则与技巧．
?x?y?原式＝
?4xy?x?y??4xy?x?y??x?y?＝（x＋y）22·＝·（x－y）＝x?y．
x?yx?yx?yx?yx的值． x?12222例５．已知x＝101，求x＋１－
分析：将已知的x直接代入虽然可以求值，但较繁．先化简，
x2?1?x21原式＝＝－，
x?1x?1当x＝101时，原式＝－
1 1002
?a?1?的值． a?21?2例６．已知实数a满足a+3a-8=0，求－2a?1a?1a?4a?422
分析：根据现有知识不能求出a的值．可先把求值式化简，看能否利用已知条件求值．原式＝
13?a?1?＝1－a?1＝a?2??a?1??＝a?2－， ?22a?1?a?1??a?1??a?2?a?1?a?1??a?2??a?1??a?2?a?3a?22当a+3a-8=0时，a+3a=8 故原式＝
22
3． 10例7.在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均改造道路多少千米？
分析：依据“实际施工速度是原计划的1.2倍”、“提前20天完成了任务”进行设元和布列方程。 解：设原计划平均每天改造道路x千米，根据题意，得
2424??20 x1.2x解这个方程，得x＝0.2 经检验，x＝0.2是原方程的解． 答:原计划平均每天改造道路0.2千米． 点评：寻找等量关系是解决问题的关键.
例8. 2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修.维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度.
分析：先统一时间单位，把15分钟化成托车到达目的地比抢修车多用就可以得到方程.
解：设摩托车速度的速度是x千米/小时，则抢修车的速度是1.5x千米/小时，根据题意，得
1小时，由题意可以知道：同样走30千米的路程，摩41小时，而抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，这样通过设未知数413030+ = 41.5xx解这个方程，得x=40
经检验，x＝40是原方程的解． 所以，1.5x=60
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答：摩托车和抢修车速度的分别是４０千米／小时和６０千米／小时. 点评：生活当中处处有数学.
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2024八年级数学上册 12 分式和分式方程小结与复习冀教版
