知识点一平面向量的数量积
定义 设两个非零向量，的夹角为θ， 则数量叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝ 投影 叫做向量在方向上的投影，叫做向量在方向上的投影 几何意义
特别提醒：①两非零向量＝，＝，则与夹角为，其范围是； ②数量积是一个实数；
③零向量与任一向量的数量积为零． 知识点二平面向量数量积的重要性质 对于非零向量，，
()·＝·＝，其中θ为与的夹角； ()⊥?；
()当与同向时，·＝； 当与反向时，·＝， ·＝，＝；
()θ＝，其中θ为与的夹角； ()·.
知识点三平面向量数量积满足的运算律 ()·＝；
()(λ)·＝＝(λ为实数)； ()(＋)·＝.
知识点四平面向量数量积、模、夹角的坐标表示 设＝(，)，＝(，)． ()·＝.
数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积 ()＝或＝. ()θ＝＝.
知识点五向量垂直的充要条件
设向量＝(，)，＝(，)，则⊥?·＝?(，为非零向量)． 知识点六向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
()证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：∥?＝λ(≠)?. ()证明垂直问题，常用数量积的运算性质 ⊥??.
()求夹角问题，利用夹角公式 θ＝＝(θ为与的夹角)．
知识点七平面向量在物理中的应用
()由于物理学中的力、速度、位移都是，它们的分解与合成与向量的相似，可以用向量的知识来解决．
()物理学中的功是一个标量，这是力与位移的数量积．即＝·＝θ (θ为与的夹角)．
例(年月学考)设向量＝(－)，＝(，)，＝(，)，，∈，若⊥，则的最小值是( ) 例
(
年
月
学
考)已知平面向量，满足＝，＝＋λ(λ∈)，其中，为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有－≥，则，夹角的最小值为( )
例已知正三角形的边长为.设＝，＝，＝，那么·＋·＋·的值为． 例已知向量，，满足·＝，且＝，＝，则向量在向量方向上的投影为． 例已知向量，满足＝，＝，＋＝，则－＝.
例(年月学考)设，为平面向量，若＝()，＝()，则＝，·＝. 例(年月学考)在△中，＝，＝，·＝，若点满足＝，则·＝.
例已知平面向量＝(，)，＝(，)，＝(，－)，且∥，⊥，求与的夹角．
例在△中，点(，－)，()，(－，－)，为边上的高，求与点的坐标．
2018版浙江《学业水平考试》数学-知识清单与冲A训练15 平面向量的数量积 全国通用 Word版含解析
