课时作业29 指数函数的应用
时间:45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1.下列判断正确的是( D ) A.2.52.5>2.53 2
C.π2<π
解析:∵y=0.9x是减函数,且0.5>0.3, ∴0.90.3>0.90.5.
2.若函数f(x)=3x+3x与g(x)=3x-3x的定义域为R,则( B ) A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
解析:f(-x)=3-x+3x=f(x),f(x)为偶函数,g(-x)=3-x-3x=-g(x),g(x)为奇函数. 3.已知f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( D ) A.a>0 C.a<1
解析:∵f(-2)=a2, f(-3)=a3.
??a,a≤b,
4.定义运算a*b:a*b=?如1]( C )
?b,a>b,?
-
-
-
B.0.82<0.83 D.0.90.3>0.90.5
A.R C.(0,1]
B.(0,+∞) D.[1,+∞)
?2x,x≤0,?
解析:由所给信息可得,f(x)=2x*2-x=?
x-
?2,x>0,?
f(x)的图象如图所示,可知函数f(x)的值域为(0,1].
5.当x∈(-∞, -1]时,不等式(m2-m)4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( C ) A.(-2,1) C.(-1, 2)
1?x解析:原不等式变形为m2-m
1?x
2
当x∈(-∞, -1]时,m2-m
1?x6.设函数f(x)定义在实数集上,f(1+x)=f(1-x),且当x≥1时,f(x)=?则有( D ) ?2?,1??1? A.f?
解析:由f(1+x)=f(1-x),得函数f(x)的图象关于x=1对称, 1?x当x≥1时,f(x)=??2?单调递减, 则当x≤1时,函数f(x)单调递增, ∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0), 1??1?∴f(0)
1?|x-1|7.已知函数f(x)=??2?,则f(x)的单调递增区间是(-∞,1].
1?x解析:法1:由指数函数的性质可知f(x)=??2?在定义域上为减函数,故要求f(x)的单调递增区间,只需求y=|x-1|的单调递减区间.又y=|x-1|的单调递减区间为(-∞,1],所
B.(-4,3) D.(-3, 4)
以f(x)的单调递增区间为(-∞,1].
??1?x-1,x≥1,?1?|x-1|?2?法2:f(x)=?=? ?2?
??2x-1,x<1.
可画出f(x)的图象求其单调递增区间.
3
8.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留污垢不超过原来的1%,则至少
4要漂洗4次.
1
解析:设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的;经过第二次41?21?1?漂洗,存留量为第一次漂洗后的,也就是原来的?,经过第三次漂洗,存留量为原来的?4??4?4
3,……,经过第
1?x
?1?x.由题意,?1?x≤1,x次漂洗,存留量为原来的?,故解析式为y=?4??4??4?100
4x≥100,2x≥10,∴x≥4,即至少漂洗4次.
9.已知a是任意实数,则关于x的不等式(a2-a+2 017)x2<(a2-a+2 017)2x
{x|-1
1
a-?2+2 016.75>1,∴x2<2x+3,解得-1
10.已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时,求函数f(x)的值域. 解:y=a2x+2ax-1,令t=ax, ∴y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,∵x≥0,∴t≥1, ∴当a>1时,y≥2.
11.已知函数f(x)=?. ?3?(1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间; (2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值. 1?-x2-4x+3
?解:(1)当a=-1时,f(x)=?3?, 令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,
+3
的解集为
由于g(x)在(-2,+∞)上递减,
1?xy=??3?在R上是减函数,∴f(x)在(-2,+∞)上是增函数,即f(x)的单调增区间是(-2,∞).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=?1?3??h(x),
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1;
?a>0,因此必有??12a-16
4a=-1,
解得a=1.
即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
——能力提升类——
?ax
,x>1,12.若函数f(x)=?
?是???4-a
2?x+2,x≤1
R上的增函数,则实数a的取值范围为( DA.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8)
D.[4,8)
解析:由题可知,f(x)在R上是增函数,
?
4-a
2
>0,所以?a>1,
?4-a2+2≤a,
解得4≤a<8,故选D.
13.若函数f(x)=2x2+2ax-a-1的定义域为R,则实数a的取值范围是[-1,0]. 解析:依题意,2x2+2ax-a-1≥0对x∈R恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立, ∴Δ=4a2+4a≤0,-1≤a≤0.
14.若方程?1?4??x+?1?2??x-1
+a=0有正数解,则实数a的取值范围是(-3,0). 解析:令?1?2??x=t, ∵方程有正根,∴t∈(0,1). 方程转化为t2+2t+a=0. ∴a=1-(t+1)2,
) + ∵t∈(0,1),∴a∈(-3,0).
1
15.已知函数f(x)=a-x(x∈R).
2+1
(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值. 解:(1)证明:f(x)的定义域为R,
设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1
(2)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即a-1
解得a=.
2
11
(3)由(2)知,f(x)=-x.
22+1
由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, ∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1). 111
∵f(1)=-=,
236
1
∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
6
1
=0, 20+1
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的应用课时作业含解析人教A版必修一
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