第2章 现值评价原理
本章旨在构建常见规则现金流现值评价体系，对于常见“规则”现金流的现值评价，基于本章的分析思路，都可以根据两个基本的简单定理直接导出其相应的现值公式。特别的，通过两个基本结论还可以将所有的终值和先付现金流的计算一次简单划为普通现值计算问题，大大简化了计算，并避免了不必要的混乱。
§2.0 预备知识
记号：若资产A由构成子资产(A1,A2,?,An)以(?1,?2,?,?n)（其中??i?1）
i?1n比重构成，则记A??1A1??2A2????nAn或?i?1?iAi。
n
价值守恒定律（Value Conservation Law）：若A??1A1??2A2????nAn，则有
PV(A)??1PV(A1)??2PV(A2)???nPV(An)???iPV(Ai)
i?1n其中PV(Ai)表子资产Ai(?i?{1,2,?n})的现值。
注：1 离散型：
PV(A)???k?k?1t?TnCkt(1?rkt)t
连续型：
PV(A)????k?1knt?TCkt?e?rktdt
T为时间指标集，Ckt为子资产k（k?{1,2,?n}）在时期t（t?T）的现金流。
2
事实上, 所谓的价值守恒定律只是现值计算或一般的资产定价中约定的一个假设, 实践中它并非总是成立。
如记公司A，公司B的价值分别为
价值守恒定律并非总是成立
PV(A)和PV(B)，记公司A和公司B合并后的新公司价值为
PV(AB) ，则由于规模（不）经济，范围（不）经济等因素，有个人收集整理 勿做商业用途 PV(AB)?PV(A)?PV(B)
??1 / 20
即价值守恒定律实践中并不总是成立。
（Cauchy）收敛准则：记S?件：???0,?N??{1,2,?ui?1?i?u1?u2??un??，则S收敛的充要条
,n,}, s.t. m?N时?p?￥,有
um?um?1??um?p??
系1
S收敛的必要条件： limun?0
n??系2
S收敛的充要条件：???0,?N??, s.t. ?m,n?N，有
um?un??
系3
S发散的充要条件：??0?0，s.t. ?N?￥，?m0?N,m0?￥和
p0?￥，满足
um0?1???um0?p0??0
§2.1 常见年金现值
常见规则现金流的现值计算基本都可以通过下述两个基本的简单定理导出。为了形式表述上的需要，先引入几个相关概念定义。个人收集整理 勿做商业用途
Def 1 对于形如(C1,C2,?,Cn)或(C1,C2,?,Cn,?)（至多可列期现金流），若 ，则称该现金流构成一年金。其中?i?{1,2,?n}或?i?￥，Ci?c（c为一常数）
有限型现金流(C1,C2,?,Cn)称为普通年金（Annuity），可列型现金流
(C1,C2,?,Cn,?)称为永续年金（Perpetuity）。个人收集整理 勿做商业用途 Def 2 对于可列现金流(C1,C2,?,Cn,?)（对于有限现金流类似），若?k?￥，s.t.
1? ck?1?ck(1?g)
2? ?l??,ck?l?ck?l?1(1?g)?ck(1?g)l
其中g?0，则称现金流(C1,C2,?,Cn,?)（有限现金流(C1,C2,?,Cn)类似）为一阶段等速增长年金，增长速度为g。
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注：Def 2
似。
中条件2实际上蕴含了条件1，但为了表述上的清晰，条件1仍列出，以下的定义类
???Def 3 对于可列现金流(C1,C2,?,Cn,?)（对于有限现金流类似），若?k?￥，
l,m?￥且l?m，s.t.
1? ck?1?ck(1?g1)，g1?0
2? ?m0?m,m0?￥，ck?m0?ck?m0?1(1?g1)?ck(1?g1)m0
3? ?m?n,n?￥，?g2?0，
ck?n?ck?m(1?g2)n?m?ck(1?g1)m(1?g2)n?m
则称现金流(C1,C2,?,Cn,?)（有限现金流(C1,C2,?,Cn)类似）为二阶段增长年金，二阶段增长速度分别为g1、g2。
对于n（n?3）阶段增长年金可作类似定义。
Def 4 称(r1,r2,?,rt)，t?T为t时期的利率期限结构（Term structure of interest）以下分析中，除非特殊声明，否则对于(r1,r2,?,rt)或(r1,r2,?,rt,?)均假设r1?r2???rt?r或r1?r2???rt???r，其中r为一常数。个人收集整理 勿做商业用途 两个基本定理：
其中PV(c,1～?)表永续年金(C1,C2,?,Cn,?),Ci?c,?i?￥的现值。
Proof omitted.
图1
从定理1可直接得出以下几个显然的推论：
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Corollary 1 PV(c,n～?)?c1? r(1?r)n?1其中PV(c,n～?)为(Cn,Cn?1,?),?i?n且i?￥,Ci?c型现金流的现值。
图2
Corollary 1中的现金流，一般称为递延的永续年金（Deferred perpetuity）。Corollary 1表明一个十分重要的事实：从任意一第n期开始的永续年金，其“现”
c值（基于第n期）都为，从而其真正意义的现值（基于第1期）的现值为
rc1?。基于这种认识，下面2个结论是显然的。个人收集整理 勿做商业用途 r(1?r)n?1Corollary 2 PV(c,1～n)?c1?[1?] nr(1?r)其中PV(c,1～n)为(C1,C2,?,Cn),?i?{1,2,?,n},Ci?c型现金流的现值。
证：PV(c,1～n)?PV(c,1～?)?PV(c,n?1～?)=
1cc??? nrr(1?r)c1?[1?] □ nr(1?r)
图3
图4
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Corollary 3 PV(c,m～n)?c11?[?] r(1?r)m?1(1?r)n其中PV(c,m～n)为(Cm,Cm?1,?,Cn),?i?{m,m?1,?,n},m,n?￥,m?n,
Ci?c型现金流的现值。
证：PV(c,m～n)?PV(c,m～?)?PV(c,n?1～?)?c1?? r(1?r)m?1c1c11???[?] □ r(1?r)nr(1?r)m?1(1?r)n
图5
图6
Corollary 3中的现金流，一般称为递延的普通年金（Deferred annuity）。
其中PV(c1,g,1～?)表一阶段增长现金流(C1,C2,?,Cn,?),?1?k?￥,
ck?ck?1(1?g)?c1(1?g)k?1,g?r的现值。
Proof omitted.
图7
注：显然，当g?r，上述现金流现值不存在（Cauchy收敛准则），该现金流无实际意义。
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现值评价原理
