变速问题
教学目标
1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。 3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”
知识精讲
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；
方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A
处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小
红和小强两人的家相距多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，
小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。（70×4）÷（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）.
【答案】2196米
【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑
一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的
1路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 7米/秒
31【答案】7米/秒
3
【例 3】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相
遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度
比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了
全程的
33?．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分3?2533钟，所以甲的速度为6000?(?)?9?150 (米/分)．
58【答案】150 米/分
【例 4】 甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，
乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米．甲车原来每小时行多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。
由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。DE＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D
或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T＝28÷5＝用 6－
28小时,甲52822＝（小时），走过 12 千米，所以甲原来每小时行 12÷＝30（千米） 555【答案】30千米
【巩固】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙
每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则
相遇点 E距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行 20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时，
甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时 11 千米。
【答案】11 千米
【例 5】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥
上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则 A、 B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次
走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5小时．甲每小时多走 2 千米，2.5小时就多走 2 ×2.5= 5千米，这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5小时走的，所以甲的速度是 5 ÷0.5= 10千米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小时，那么乙到桥上的时间是 3＋ 0.5 =3.5小时．乙每小时少走 2 千米，3.5小时就少走 2 ×3.5 =7千米，这 7 千米就是甲原来 3.5 －3= 0.5小时走的，所以乙的速度就是 7 ÷0.5 =14千米/时．所以 A、 B 两地的距离为 （10 ＋14） ×3 =72千米．
【答案】72千米
【例 6】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5 小
时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答
3【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达目的地晚1.5 小时，所以后
4面以原速的的
33前进的时间比原定时间多用1.5?0.5?1小时，而速度为原来的，所用时间为原来4444，所以后面的一段路程原定时间为1?(?1)?3小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后333前进，则到达目的地仅晚1 小时，4又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的
4类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为(1?0.5)?(?1)?1.5小时．所以原速度行
3驶 90 公里需要1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 90?1.5?4?240公里．
【答案】240公里
【例 7】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小
时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划
的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为
原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【答案】1260千米
【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，就是
说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
【答案】1.5小时
【例 9】 小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中 A点后，他将速度改为每小时 2千米，在接下来
的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A点上方 500米的地方．如果他下山的速度是每小时 4千米，下山比上山少用了 52.5分钟．那么，他往返共走了多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 11千米 【答案】11千米
【例 10】 甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差
13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以
这次乙车比甲车多走了 1 小时；第三次甲车提前 1 小时出发，所以这次甲车比乙车多走了 1 小时．那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为 2 个全程．由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时．由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上13 ＋37 =50千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走50× 2 =100千米．而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100 ÷10 =10千米/时
【答案】10千米/时
【例 11】 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时
起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙
的速度比原来快
1，甲每分钟比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙4两人谁先到达终点？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为400??400?360??10(分钟)．甲到达终点还需要跑
?10000?400?10???400?18??14?10000?360?10???360???1???
74209(分钟)，乙还需要跑
?1??2274，所以乙先到达终点． ???14(分钟)，由于?4??99209
【答案】乙先到达终点
【例 12】 环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12分钟
后相遇．如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米，求原来二人的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 甲、乙原来的速度和为：1800?12?150(米/分)，如果每人每分钟多走25米，现在的速度之和为：
150?25?2?200(米/分)，现在相遇需要的时间为：1800?200?9(分钟)．题目中说相遇点与前次相差33米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系．由于以原来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程?12；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程?9；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为两次相遇点的距离33米．所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟，走到距离前一处还有33米的地方，求甲的速度．所以，甲原来的速度为：(33?25?9)?(12?9)?86(米/分)，乙原来的速度为：150?86?64(米/分)． 【答案】64米/分
【例 13】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车步行，步1行速度只有骑车速度的，结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？
3【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用36?20?16分钟，由于在别的路段上还是
1骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上．由于步行速度是汽车速度的，所以步行2
3千米所用的时间是骑车2千米所用时间的3倍，多用了2倍，这个多出来的时间就是16分钟，所以骑车2千米需要16?2?8分钟．
由于8分钟可以骑2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为2?(20?8)?5千米．
【答案】5千米
【例 14】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是5:4，相遇
后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离开A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 出发时，两车的速度之比为5:4，所以相遇以后两辆车的速度之比为
5??1?20%?:4??1?20%??5:6，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5:4，所以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为4:5，所以甲还需要行驶全部路程的乙行驶了全程的
4，当甲行驶这段路程的同时，9484811?5?6?，距离A地还有1???，所以A、B两地相距10??4509159154545千米．
【答案】450千米
【例 15】 甲、乙往返于相距1000米的A，B两地．甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地出发，并在距
A 地600米的C地追上甲．乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B地休息1分钟后加快速度向A地返回，并在C地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到A地？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6分钟，那么
小学奥数教师版合辑-3-2-6变速问题
