24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 b＋c＝1，证明： 2013 全国新课标卷2理科数学第6页
设a，b，c均为正数，且a＋(1)ab＋bc＋ac≤
1； 3a2b2c2???1. (2)bca
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 答案：A
2
解析：解不等式(x－1)＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：z=2i2i?1?i??2?2i?＝＝－1＋i. 1?i?1?i??1?i?23．
答案：C
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
a1(1?q3)∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
1?q1?q32∴＝q＋10，整理得q＝9. 1?q∵a5＝a1·q＝9，即81a1＝9，∴a1＝4． 答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D
解析：因为(1＋x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x的项为C5x＋ax·C5x＝(10
5
2
4
1. 9rr221＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；
2
11，S=1+； 22111当k＝3时，T?，S?1+?；
2?322?31111?当k＝4时，T?，S?1+?；…；
2?3?422?32?3?41111当k＝10时，T?，S?1+???，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，
2?3?4??102!3!10!当k＝2时，T?
所以B正确．
7． 答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
2013 全国新课标卷2理科数学 第7页
则它在平面zOx上的投影即正视图为8． 答案：D
解析：根据公式变形，a?，故选A.
lg6lg2lg10lg2lg14lg2?1??1??1?，b?，c?，因为lg 7＞lg 5lg5lg5lg7lg7lg3lg3lg2lg2lg2??＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D. lg7lg5lg39． 答案：B
解析：由题意作出??x?1,所表示的区域如图阴影部分所示，
?x?y?3
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
a?11，所以a?. 2210． 答案：C
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
11． 答案：C
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋则x0＝5－
p＝5，2p. 2p??p??,0?，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x??＋(y－y0)y＝0.
2??2??y02将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
2p??2由y0＝2px0，得16?2p?5??，解之得p＝2，或p＝8.
2??又点F的坐标为?所以C的方程为y＝4x或y＝16x.故选C.
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2
2
12． 答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以
AE?BD?2.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以
221241?，即，解得n＝8. ??n?n?1?C214n?n?1?14n210 5π?1?tan?111??，得tan θ＝?，即sin θ＝?cos θ. 解析：由tan?????4?1?tan?233?10222将其代入sinθ＋cosθ＝1，得cos??1.
93101010因为θ为第二象限角，所以cos θ＝?，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝?.
1010515．答案：?16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋10?9d＝10a1＋45d＝0，① 215?14d＝15a1＋105d＝25.② 22
联立①②，得a1＝－3，d?，
3
n(n?1)21210所以Sn＝?3n???n?n.
23331310220令f(n)＝nSn，则f(n)?n?n，f'(n)?n2?n.
33320令f′(n)＝0，得n＝0或n?.
3202020当n?时，f′(n)＞0,0 333S15＝15a1?＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B， 2013 全国新课标卷2理科数学 第9页 又B∈(0，π)，所以B?(2)△ABC的面积S?π. 412acsin B?ac. 24π22 由已知及余弦定理得4＝a＋c－2accos. 4422 又a＋c≥2ac，故ac?，当且仅当a＝c时，等号成立． 2?2因此△ABC面积的最大值为2+1. 18． 解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝ 平面A1CD， 2AB得，AC⊥BC. 2以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量， ??n?CD?0,?x1?y1?0,则?即? 2x?2z?0.1??n?CA1?0,?1可取n＝(1，－1，－1)． 同理，设m是平面A1CE的法向量， ??m?CE?0,则?可取m＝(2,1，－2)． ??m?CA1?0,从而cos〈n，m〉＝故sin〈n，m〉＝ n·m3， ?|n||m|36. 3即二面角D－A1C－E的正弦值为 6. 319． 解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以T???800X?39000,100?X?130, ?65000,130?X?150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 20． 2013 全国新课标卷2理科数学 第10页
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
