解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
x12y12x22y22y?y1=?1， 则2?2=1，2?2=1，2x2?x1ababb2?x2?x1?y?y由此可得2??21=1.
a?y2?y1?x2?x1y1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0?，
x02所以a＝2b.
又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a－b＝3.
22
因此a＝6，b＝3.
2
2
2
2
x2y2?=1. 所以M的方程为63?x?y?3?0,?(2)由?x2y2
?1,??63??43,?x???x?0,?3解得?或?
?y?3.?y??3,??3?因此|AB|＝
46. 3由题意可设直线CD的方程为
?53?y＝x?n???3?n?3??，
??设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
?y?x?n,?22由?x2y2得3x＋4nx＋2n－6＝0.
?1??3?6?2n?2?9?n2?于是x3,4＝.
3因为直线CD的斜率为1，
49?n2. 31869?n2. 由已知，四边形ACBD的面积S?|CD|?|AB|?2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
386所以四边形ACBD面积的最大值为.
3所以|CD|＝2|x4?x3|?21．
解：(1)f′(x)＝e?x1. x?m2013 全国新课标卷2理科数学 第11页
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex?x1. x?1函数f′(x)＝e?x1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0. x?1因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0. 当m＝2时，函数f′(x)＝e?x1在(－2，＋∞)单调递增． x?2又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得e0＝
x
1，ln(x0＋2)＝－x0， x0?21?x0?1?2故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.
x0?2x0?2综上，当m≤2时，f(x)＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．
解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知
BCDC， ?FAEA故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
2
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC22222
＝DB·BA＝2DB，所以CA＝4DB＋BC＝6DB.
而DC＝DB·DA＝3DB，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
2
2
1. 2M的轨迹的参数方程为??x?cos??cos2?,(α为参数，0＜α＜2π)．
y?sin??sin2??(2)M点到坐标原点的距离
d?x2?y2?2?2cos?(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
24．
2013 全国新课标卷2理科数学 第12页
解：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，
222
得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
2222
由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤
222222
1. 3a2b2c2?b?2a，?c?2b，?a?2c， (2)因为bcaa2b2c2???(a?b?c)≥2(a＋b＋c)， 故bca即a2b?b2c?c2a≥a＋b＋c. a2b2c2所以b?c?a≥1.
2013 全国新课标卷2理科数学 第13页
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
