④这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内. 所有合理推断的序号是________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】
①由学生类别阅读量图表可知；
②计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；
③设在区间?0,10?内的初中生人数为x，则x??0,15?,x?N，分别计算x为最大值和最小
?值时的中位数位置即可；
④设在区间?0,10?内的初中生人数为x，则x??0,15?,x?N，分别计算x为最大值和最小
?值时的25%分位数位置即可.
【详解】在①中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间?24.5,25.5?内，故错误；
在②中，200?75%?150，阅读量在?0,30?的人数有7?8?31?29?25?26?126人， 在[30,40)的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间[30,40)内， 故正确；
在③中，设在区间?0,10?内的初中生人数为x，则x??0,15?,x?N，
?当x?0时，初中生总人数为116人，
116?58， 2此时区间0,20?有25人，区间[20,30)有36人，所以中位数在[20,30)内， 当x?15时，初中生总人数为131人，
?131?65.5， 2区间0,20?有15?25?40人，区间[20,30)有36人，所以中位数在[20,30)内， 当区间?0,10?人数去最小和最大，中位数都在[20,30)内，
所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内，故正确； 在④中，设在区间?0,10?内的初中生人数为x，则x??0,15?,x?N，
??当x?0时，初中生总人数为116人，116?25%?29，
此时区间0,20?有25人，区间[20,30)有36人，所以25%分位数在[20,30)内， 当x?15时，初中生总人数为131人，131?25%?32.75， 区间0,20?有15?25?40人，所以25%分位数在0,20?内，
所以这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间[20,30)内，故正确； 故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.
???三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.已知函数f(x)?loga(3?x)，其中a?0且a?1. （1）求函数f(x)的定义域； （2）求函数f(x)的零点； （3）比较f(?1)与f(1)的大小.
【答案】（1）(??,3)；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）由真数大于0求解即可；
（2）由loga1?0，可得函数f(x)的零点；
（3）对a分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由3?x?0，得x?3， 所以函数f(x)的定义域为(??,3)； （2）令f(x)?0，即loga(3?x)?0， 则3?x?1，所以x?2， 所以函数f(x)的零点为2；
（3）f(?1)?loga(3?(?1))?loga4，
f(1)?loga(3?1)?loga2，
当a?1时，函数y?logax是增函数，所以loga4?loga2，即f(?1)?f(1)
当0?a?1时，函数y?logax是减函数，所以loga4?loga2，即f(?1)?f(1)
【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.
rrrr1rrrr18.已知向量a?(1,3)，b?(?2,1).向量m?a?2b，n??a?b.
2（1）求a；
（2）求向量m，n的坐标；
（3）判断向量m与n是否平行，并说明理由.
rrrrrr?51?rururr【答案】（1）a?10；（2）m?(5,1)，n???,??；（3）向量m与n平行；详见解析
?22?【解析】 【分析】
（1）利用向量的模的计算公式求解即可；
（2）利用向量坐标的数乘和坐标的加减法运算求解即可； （3）由向量共线的坐标运算判断.
rra?(1,3)1a【详解】（）由，得?12?32?10； urrr（2）m?a?2b?(1,3)?2(?2,1)?(5,1)，
r1rr1?51?n??a?b??(1,3)?(?2,1)???,??；
22?22?urr?51?（3）m?(5,1)??2??????2n，
?22?urr所以向量m与n平行.
【点睛】本题主要考查向量模求法和平面向量线性运算的坐标形式，属于基础题. 19.中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.
（1）利用分层抽样在[40,45)，[45,50)，[50,55]三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？
（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；
（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支．．．出的平均值.
【答案】（1）从这三组中抽取的人数分别为3，1，1（2）【解析】 【分析】
（1）利用分层抽样和频率分布直方图先求出再各区间的比例，再求出人数；
（2）先求出基本事件的总数，再求出这2人不在同一组的基本事件数，再求概率即可； （3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知[40,45)，[45,50)，[50,55)三组的频数的比为
7（3）38百元 100.06:0.02:0.02?3:1:1，
所以从[40,45)中抽取：5?从[45,50)中抽取：5?3?3人，
3?1?11?1人，
3?1?11?1人， 从[50,55)中抽取：5?3?1?1所以从这三组中抽取的人数分别为3，1，1；
（2）记[40,45)中的3人为a1，a2，a3，[45,50)中的1人为b，[50,55)中的1人为c， 从这5人中随机选出2人，则样本空间
?={a1a2,a1a3,a2a3,a1b,a1c,a2b,a2c,a3b,a3c,bc}含10个样本点，
设事件A：选出的2人不在同一组，
则A={a1b,a1c,a2b,a2c,a3b,a3c,bc}含7个样本点， 所以P(A)?7； 10（3）(30?0.04?35?0.06?40?0.06?45?0.02?50?0.02)?5?38， 估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为38百元.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算能力，属于基础题.
20.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码. （1）求甲、乙二人都破译密码的概率； （2）求恰有一人破译密码的概率；
（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：
解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A?B所以P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8?0.7?1.5 请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程. 【答案】（1）0.56；（2）0.38；（3）详见解析 【解析】 【分析】
（1）由相互独立事件概率乘法公式求解即可；
的AB，
（2）恰有一人破译密码表示为AB+AB，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解；
（3）小明求解错误的原因是事件A和事件B不互斥，然后将甲、乙二人中至少有一人破译密码表示为AB+AB?AB，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解. 【详解】（1）由题意可知P(A)?0.8，P(B)?0.7，且事件A，B相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示
所以P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.56；
（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB+AB，且AB，AB互斥
北京市房山区2024-2024学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
